tailieunhanh - Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 1

Phần 1 cuốn sách "Phép tính vi phân và tích phân" doc Nguyễn Văn Khuê làm chủ biên trình bày các nội dung: Tích phân Riemann, phép tính tích phân của hàm vô hướng; tính tích phân nhở nguyên hàm; ứng dụng của tích phân; tích phân suy công; dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi fourier, . | GS. TS. NGUYỄN VĂN KHUÊ Chủ b iê n PTS. CẤN VẨN TU ẤT - PTS. ĐẬU THÊ CẤP VI PHÂN TÍCH PHÂN G IẢ I TÍCH 1 1 1 Tập II ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM NGUYỄN VĂN KHUÊ Chủ biên PTS. CẤN VẪN TUẤT - PTS. ĐẬU THỂ CẤP PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I VÀ II TẬP II CHUƠNG VI PH ÉP T ÍN H T ÍC H PHÂN 1- TÍCH PHÂN RIEMANN 1- K h á i niệm cơ b ả n Cho hàm f a b F đoạn a b c R a lt b F là không gian Bonach . Để định nghĩa tích phân của hàm f trên a b ta làm như sau Chia đoạn a b thành nhừng đoạn nhỏ bởi các điểm tùy ý a X lt X lt x - gt lt . . lt X b. o 1 2 n Mỏi phép chia như thế gọi là một phân hoạch của đoạn a b và ký hiệu bỏi chữ 71. Các điểm xo Xp xn gọi là các điểm chia. Trên mỗi đoạn chia xk p xk k 1 n ta chọn một điểm tùy ý s k Xị. và iập tổng. ơjr i gt gt ằ f hội tụ tới I khi d r - 0 nếu với mọi số e gt 0 cho trước tòn tại số ò gt 0 sao cho với mọi phân hoạch Tí mà d jĩ lt ỏ và mọi Ẹk xk J xk ta cd. I k - I II Il S kH k - gt - I II 0 tồn tại ố gt ọ sao chonếu71J và 7 1 Ị là hai phân hoạch của a b với dÍJTj d n 2 lt á thì. 1 1 lt i - gt ụ - n 2 I lt I với mọi điểm chọn p. p thuộc các đoạn chia của 7 1 và K2 tương ứng. Ngược lại do F là không gian Banach nên cũng có thể chứng minh rằng nếu ơn là họ cơ bản thì nđ hội tụ. 6 . Đmỉĩ lý. Cho hàm f a b - F. Nếu hàm f khả tích trên a b thì nó bị chặn trên đoạn đd. Chứng m i n h . Thật vậy giả sử ngược lại hàm f . khả tích nhưng khổng bị chặn trên đoạn a b . Với số 1 tồn tại số ố gt 0 sao cho với mọi phân hoạch JI của đoạn a b bởi các điểm a Xo lt X 1 lt . lt Xn b vói d r lt ố ta đêu cò I a lt I . I I hàm Dirichlet D a b - R cho bởi 1 nếu X hữu tỷ D x 0 nếu X vô tỷ. Rỏ ràng hàm này bị chặn 0 lt D x nó khả tích trên đoạn đó. Chứng minh. Dựa vào nhận xét định lý sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được rằng Với mọi số e gt 0 cho trước tồn tại số ố gt 0 sao cho với hai phân hoạch bất kỳ JÎ1 và jr2 của đoạn a b thỏa mãn dOr1 lt ố d r2 lt ố sẽ kéo theo I ƠTÍ I n 1 Ơ7Ĩ n2 II lt