tailieunhanh - Tìm hiểu cơ sở hình học vi phân: Phần 2

Phần 2 của cuốn sách "Cơ sở hình học vi phân" tiếp tục cung cấp cho bạn đọc những nội dung về: các mặt cong trong không gian ba chiều; mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng; các ứng dụng của định lý hàm ngược; dạng cơ bản thứ nhất; độ cong của mặt; độ cong Gauss; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương 4 Các mặt cong trong không gian ba chiều Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu một vài cách khác nhau đề ra một cách toán học khái niệm của mặt cong. Mặc dù đơn giản nhất coi mặt cong như là một miếng vá như thế đã đủ cho hầu hết cuốn sách nhưng như vậy chưa thể mô tả một cách thỏa đáng cho các đối tượng mà chúng ta muốn gọi là các mặt cong. Chẳng hạn mặt cầu không phải là một miếng vá nhưng nó có thể mô tả bởi dán hai miếng vá một cách thích hợp. Ý tưởng đằng sau phép dán này khá đơn giản nhưng việc thực hiện một cách chính xác hóa ra có một chút phức tạp. Chúng tôi cố gắng làm giảm thiểu những phiền hà này bằng cách đưa những chứng minh cần sự kiên nhẫn ở tiết cuối cùng của chương này những kết quả đó không được sử dụng ở chỗ khác trong cuốn sách nên nếu muốn có thể bỏ qua. Thật ra các mặt cong đối lập với miếng vá sẽ được sử dụng một cách chính xác chỉ một vài chỗ trong cuốn sách. Mặt cong là gì Một mặt cong là một tập con của R3 mà mỗi lân cận của mỗi điểm tựa như một mảnh của R2 chẳng hạn bề mặt của quả địa cầu mặc dù nó gần như là một mặt cầu nhưng đối với một người đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng. Để hiểu một cách chính xác những nhóm từ tựa như và lân cận trước hết chúng ta cần có một vài chuẩn bị. Chúng ta sẽ phát biểu cho Rn với mọi n 1 mặc dù chỉ cần cho n 1 2 hoặc 3. Trước hết một tập con U của Rn được gọi là mở nếu với mỗi điểm a trong U tồn tại một số dương ε sao cho mọi điểm u Rn cách điểm a một khoảng cách bằng ε đều nằm trong U a U và ku ak lt ε u U. Ví dụ toàn bộ Rn là một tập mở cũng như đối với Dr a u Rn ku ak lt r quả cầu mở tâm a bán kính r gt 0. Nếu n 1 một quả cầu mở được gọi là một khoảng mở nếu n 2 nó được gọi là một đĩa mở. Tuy nhiên r a u Rn ku ak r D 42 CHƯƠNG 4. MẶT CONG . MẶT CONG LÀ GÌ không mở vì với số ε nhỏ như thế nào cũng đều có một điểm cách điểm a1 r a2 . an D r a một khoảng cách bằng ε mà nó không nằm trong D r a chẳng hạn lấy điểm a1 r ε 2 a2 . an . Tiếp đến nếu X và Y tương ứng