tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Hà Nội để các em ôn tập lại các kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. Tài liệu đi kèm đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 HÀ NỘI NĂM HỌC 2021 2022 MÔN THI TOÁN Thời gian 90 phút Không kể thời gian phát đề x 2 mx 1 Câu 1. HSG-HÀ NỘI 2021-2022 Chứng minh rằng với mọi m 2 hàm số f x có đúng 4 x2 2x 3 cực trị. Lời giải x mx 1 2 g x .g x Cách 1. Đặt g x 2 y g x y . x 2x 3 g x Số điểm cực trị của hàm số y g x là số nghiệm của phương trình g x .g x 0 . Xét g x 0 x 2 mx 1 0 . Ta thấy ac 1 0 m g x 0 luôn có 2 nghiệm bội lẻ 1 . Xét g x 0 . 2 x m x2 2 x 3 2x 2 x2 mx 1 0 2 m x 2 8x 3m 2 0 m 2 Do 2 2 32 16 2 m 3m 2 3m 4m 12 3 m 3 3 0 2 nên g x 0 cũng có 2 nghiệm bội lẻ 2 . x 2 mx 1 Từ 1 và 2 ta có hàm số y có đúng 4 điểm cực trị ĐPCM x2 2x 3 x 2 mx 1 g x .g x Cách 2. Đặt g x y g x y . x 2x 3 2 g x Số điểm cực trị của hàm số y g x là số nghiệm của phương trình g x .g x 0 Xét g x 0 x 2 mx 1 0 . Ta thấy ac 1 0 m g x 0 luôn có 2 nghiệm bội lẻ 1 . Nhận xét g x cũng bậc 2 nếu g x không đổi dấu thì g x 0 chỉ có tối đa 1 nghiệm. loại Do đó g x phải đổi dấu tức là g x phải có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có đúng 4 cực trị. Câu 2. HSG-HÀ NỘI 2021-2022 a Giải phương trình x 1 3 x 2 x 2 2 x 1 . Lời giải x 1 0 3 x 0 x 1 1 Điều kiện x 0 x . 2 x 2 0 1 2 2 x 1 0 x 2 2 2 Ta có x 1 3x 2 x 2 2 x 1 x 1 3x 2x 2 2x 1 4 x 1 2 3 x x 1 4 x 1 2 2 x 2 2 x 1 3 x x 1 2 x 2 2 x 1 Trang 1 6 - WordToan x 1 lo i 3x 2 3x 4 x 2 2 x 2 x2 x 2 0 . x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2 . x 2 5 x 4 4 x 1 y 2 3 y 4 y Câu 2. HSG-HÀ NỘI 2021-2022 b Giải hệ phương trình 2 . x y 25 2 Lời giải 1 x 5 Điều kiện . 0 y 5 Ta có x 2 5 x 4 4 x 1 y 2 3 y 4 y x 2 2 x 1 3 3x 4 x 1 y 2 3 y 4 y x 1 3 x 1 4 x 1 y 2 3 y 4 y . 2 Xét hàm số f t t 4 3t 2 4t với t 0 . Ta có f t 4t 3 6t 4 f t 12t 2 6 . 1 2 2 Khi đó f t 0 12t 2 6 0 t 2 t f 4 2 2 0 . 2 2 2 Suy ra f t 4t 3 6t 4 0 t 0 . Vậy hàm số f t t 4 3t 2 4t đồng biến với mọi t 0 . Ta có f y x 1 f x 1 y y x 1 . Thay y x 1 vào phương trình x 2 y 2 25 ta được x 4 y 3 x 2 x 1 25 x 2 x 12 0 2 . x 3 lo i Kết luận Vậy hệ phương trình đã cho