tailieunhanh - Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005

Nội dung chính của bài viết "Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005" trình bày tổng quát hóa một bài toán từ cuộc thi vô địch Nga năm 2005 bằng công cụ điểm đẳng giác cùng với các lời giải thuần túy hình học. Mời các bạn tham khảo! | TỔNG QUÁT MỘT BÀI TOÁN THI VÔ ĐỊCH NGA NĂM 2005 Trần Quang Hùng Phan Anh Quân TÓM TẮT Bài viết tổng quát hóa một bài toán từ cuộc thi vô địch Nga năm 2005 bằng công cụ điểm đẳng giác cùng với các lời giải thuần túy hình học. Bài toán sau được đề nghị bởi tác giả Andrey Badzyan trong kỳ thi vô địch toàn Nga năm 2005 vòng thi tỉnh dành cho lớp 9 Bài toán 1. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp .O và đường tròn nội tiếp là .I . M là trung điểm của AC và N là trung điểm của cung AC d chứa B. Chứng minh rằng IMA D I NB. N B I O A M C E Lời giải. Gọi BI cắt .O tại E khác B. Từ kết quả quen thuộc E là tâm ngoại tiếp tam giác IBC . Từ đó kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông thì EI 2 D EA2 D EM EN . Từ đó hai tam giác EMI và EI N đồng dạng. Suy ra IMA D EI N IME 90ı D EI N 90ı D I NB. Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét. Bài toán trên là một kết quả đẹp và có nhiều ý nghĩa trong việc ứng dụng và phát triển. Chúng tôi xin giới thiệt một bài toán trong các bài toán ứng dụng kết quả này như sau Bài toán 2. Cho dây BC cố định của đường tròn .O . A di chuyển trên .O I là tâm nội tiếp tam giác ABC . IA cắt .O tại D khác A. M là trung điểm BC . N thuộc .O sao cho DN k IM . P thuộc .O sao cho NP k AD. Chứng minh rằng PI luôn đi qua điểm cố định khi A di chuyển. 81 Tạp chí Epsilon Số 05 10 2015 K A S N I O B M C P D T Lời giải. Gọi tia IM cắt .O tại T tia MI cắt .O tại S MD cắt .O tại K cố định. Ta thấy ID 2 D BA2 D DM DK suy ra tam giác 4DMI 4DIK suy ra MID D IKM .1 . Ta lại có DN k ST suy ra DT d D NS. d Từ PN k AD suy ra NA d D PD. d Từ đây suy ra PD D SA C DT suy ra PKD D DI T .2 . d c d Vậy từ .1 .2 suy ra P I K thẳng hàng hay PI đi qua K cố định. Nhận xét. Điểm P chính là tiếp điểm của đường tròn mixtilinear nội với đường tròn .O . Bài toán 1 lần đầu tiên được mở rộng trong 2 bởi tác giả Trần Quang Hùng như sau Bài toán 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O và P Q đẳng giác trong tam giác ABC AP cắt .O tại D khác A. DN là đường kính của .O . ON cắt BC tại M