tailieunhanh - Bài giảng 8: Các bài toán về số phức

Trường số phức là mở rộng của trường số thực thành một trường đóng đại số sao cho mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm. Phương trình đại số đơn giản nhất không có nghiệm trên trường số thực là phương trình x2+1 = 0 hay x2 = -1. Để phương trình này có nghiệm, phải công nhận sự tồn tại của một "số" mới, số ảo là số có bình phương bằng số âm một! | Bài giảng số 8 CÁC BÀI TOÁN VÊ 5Ú PHÚC Các bài toán về số phức là chủ đề mới xuất hiện lần đầu trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng năm 2009. Bài giảng này giới thiệu các bài toán cơ bàn nhất về số phức Các bài toán về môđun số phức dạng lượng giác cùa số phức và phương trình xét trên tập các số phức. 1. CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ MÔĐƯN CỦA SỐ PHỨC 1. Tóm tắt lí thuyết - Các phép tính về số phức Cho hai số phức z a bi và Z a b i. Ta định nghĩa z Z a a b b i Z-Z a-a b-b i. Cho số phức z a bi. Số phức z a - bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. - Môđun của số phức Cho số phức z a bi ta kí hiệu Z là môđun của số phức z được xác định như sau z - Va2 b2 . - Cho hai số phức z a bi và Z a b i. Ta định nghĩa aa - bb ab a b i. - Cho số phức z a bi t0 tức là a2 b2 0 . Ta định nghĩa 7-i 1 a-bi 2 .2 2 . 2 a b a 0 NeuZ Othi z z l. z 2. Các dạng toán cơ bản Loại 1 Các phép tính về số phức Các bài toán thường có dạng hoặc đòi hỏi tính toán trực tiếp một biểu thức về số phức hoặc phải giải một phương trình dạng đơn giản để tìm số phức z mà thực chất của phép giải phương trình này chỉ đòi hỏi thực hiện các phép tính về số phức. Thí dụ 1 Đề thì tuyển sinh Cao đẳng khối A B- 2009 Tìm phần thực và phần ảo của sổ phức z nếu như ta có 1 i 2 2 - i Z 8 i 1 2i Z. 151 Giãi Ta có 1 i 2 2 - i Z 8 i 1 2i Z o Z 1 i - 2-i - 1 2i 8 i Z 2i 2-i - 1 - 21 8 i o Z I L- 8 1X1-21 3i 2Ĩ 1 5 Vậy phần thực cùa z là 2 và phần ào là -3. Thí dụ 2 Xét các điểm A B c trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số A l-i l 2i i-1 3-1 1 Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 2 Tìm sổ phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. Giải 4i 4i i 1 . 1 Ta có 7 - - - 2 - 21. Vậy A 2 -2 . i -1 -2 1 -i l 2i 3 i B 3 1 . 2jLg 2 60 3 ỉ 2i c 0 2 3-i 10 Từ đó suy ra BC2 10 BA2 10 CA2 20 nên có BA BC AC2 - AB2 BC2 Vậy ABC là tam giác vuông cân đinh B. 2 Gọi D là đinh thứ tư cùa hình vuông ABCD. Ta có BÃ CD - -3 Xo yD-2 XD ỉ yD 1 D -1 -1 Vậy số phức z 1 i được biểu diễn bời .