tailieunhanh - Các bài toán dãy số thi trong Olympic P2

Các bài toán dãy số thi trong Olympic P2, dãy số là một mảng kiến thức khó, rất khó để có thể học hiểu hết, vì vậy nắm vững lý thuyết bằng cách rèn luyện bài tập, sẽ giúp ích rất nhiều cho các bạn muôn đào sâu toán thi OLP, tài liệu rất hay. | Cho dãy số aj với a0 1 a1 2 kan 2 an l an Vn e N Tìm tất cả các giá trị của n để an - 1 là một số chính phương. Giải Xét phương trình đặc trưng t2 4t -1 tx 2 2 -x 3 an a 2 V3 n p 2-V3 n e R Hơn nữa ao 1 ax - 2 a p 1 2 a p Vã a - P 2 63 Ta lần lượt xét các trường hợp Nếu n 0 í A OeZ Nếu n 1 - A 1 e z Nếu n 2k k e N Xét dãy bhỊ với b 2 V3 k- 2-V3 k V3 l n- V3-l n A 72 G 2 n 1 Ta lại có 2 73 là các nghiệm của phương trình đặc trưng X2 4x -1 nên bk thỏa t k 2 4bk 1 - bk bk Ể Q Vk e N an -1 không phải là số chính phương nên n 2k 1 k e N Ta có k eN ck 2 Vã k - 2 - Vã Đặt thì dãy Cnl thỏa mãn Ck 1 4Ck 1-Ck Mà ÍCo 0 C1 5 64 ck e z Vk e N Vậy an - 1 là số chính phương n 0 n nguyên dương lẻ ís Cho aefo - Ỵ Tìm O l 2 lim cos2 x ẽõsã sin2 aựsina n- co Giải Đặt xn cos2 Vcosa sin2 a sina n 6 N xn 1 khi n 00 . lnxn . _ -2- 1 khi n - 00 xn -1 r ío xn l Vn e N Để ý jln l x . - --------- 1 khi X 0 l X nln x2 n xn -1 1 khi n 00 Mà . __2 Vcosa -1 . 2 Vsina -1 n xn -1 cos a- y--- sin a- ĩ---- n n - cos2 a In cos a sin2 a In sin a vì lim n n 00 Vx -1 Inx với 0 X 2 .2 n _ COS a sin a xn cosa sina .