tailieunhanh - Các bài toán dãy số thi trong Olympic P1

Các bài toán dãy số thi trong Olympic P1, dãy số là một mảng kiến thức khó, rất khó để có thể học hiểu hết, vì vậy nắm vững lý thuyết bằng cách rèn luyện bài tập, sẽ giúp ích rất nhiều cho các bạn muôn đào sâu toán thi OLP, tài liệu rất hay. | Chương II CÁC BÀI TOÁN VÊ DÃY SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI OLYMPIC 30-4 Từ lần V đến lần IX 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY số TRONG CÁC ĐỀ THI OLYMPIC 30-4 LẦN V NĂM 1999 @ Cho dãy sô xk được xác định bởi 12 . k k 2 3 k 1 Tính lim x x . x 999 n- oo Gỉảỉ Vì xk 1 - xk ZT7 0 X Xu 0 Vk e N k 2 k 1 k II -- lỉ I -11 1999 A1 A2 _ 1999 v 1999 . x 999 Mặt khác ta cố k k 1 -1 2 _ 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 2 2-2 2 3 2 k k 1 1- 1 k 1 X1999 1 - 2 0 Đến đây thay x1999 vào ta được 1 .r --- ------- L_ . ĩ ĩ 1 - i-7 VX1 x2 - xi999 p 1999 1- 7 2000 v 1 2 1999 y I 2000 j Nhưng vì 42 1 r 1 lim l--ê- lim V1999 1- ị n- 00 2000 n_ co Ị_ l 2000 Ụ Nên ta suy ra lim Vx Xo . x 1 - n- N 1 2 1999 2000 Cho dãy sô an thỏa BĐT ai999 an i an 2 _ ai Vn 2 Chứng minh rằng tồn tại sô c sao cho an Vn e N Giải Ta có Đặt Giả sử Ta có 1999 an af Vn 2 2000 1999 a 9 n - 2 qf 0 q1 Vn 2 lim a 00 n- 00 3n0 e N an 1 Vn n0 C Min ị 4 2 n0 an ằ Vn e l 2 . n0 an Vn nx ỵới n e N nj n0 a2 ằ an a . ax ằ n n -1 . l c n n 1 2 ----c 2 n 1 2C2 X n 1 vì - c 2 n 1 4 an 1 n l c Vậy bài toán được chứng minh 43 3 Cho dãy số an định bởi a0 1999 a2 an 1 77 Vn 0 l l an Tìm phần nguyên của an với 0 n 999 Gỉảỉ Rõ ràng an 0 Vn 0 nên a2 a - _ an - an 1 an - 777- 77 - 0 Vn 0 l an l an an là dãy giảm 1 a. a0 - n l Vn 0 a0 - n -1 Vn 2 2000 -n Vn 2 1 n 1 n-1 n-1 2 a Mặt khác ta lại cố an aot ai -a0 a2 -a1 . an-an_J 1999 - í - 2 ự a0 1 a . l an-lj 1 1 1 A 1999 - n - í3 ự ao 1 ai l an_xJ Từ 1 và 2 ta có n------ 1 với 2 n 1999 4 2001 - n 1998 - n v Từ 3 và 4 ta có .