tailieunhanh - Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp

Luyện tập với Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp giúp bạn hệ thống kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải đề giúp bạn tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Đề thi gồm có 01 trang Ngày thi 28 07 2020 Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề Câu 1. 4 0 điểm Với mỗi số nguyên dương n 2 xét số thực un 1 sao cho phương trình un x x có đúng n nghiệm nguyên theo ẩn x và un x là phần nguyên của un x . 1. Chứng minh rằng un 1 n n 2 . 2. Với mỗi cách xác định của dãy un thỏa điều kiện trên. Chứng minh rằng dãy un luôn có giới hạn và tìm giới hạn ấy. Câu 2. 5 0 điểm x 1 y 1 z 1 5 1. Giải hệ phương trình . 2 x y z x 6 2. Xét số T 3n 2n trong đó n là số nguyên dương n 2 . Chứng minh rằng a Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố. b Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố. Câu 3. 3 0 điểm Với mỗi m ta kí hiệu 2m m 2 2m 1 m . m 1 . Cho đa thức p x hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng k k và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên n n 0 sao cho đa thức q x p x n có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng n k . Câu 4. 6 0 điểm Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với các cạnh BC CA AB tại D E F. 1. Gọi S là giao điểm của EF với BC. Chứng minh SI vuông góc với AD. 2. Đường thẳng d thay đổi đi qua S và cắt đường tròn I tại hai điểm phân biệt M N. Các tiếp tuyến tại M N của I cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định. 3. Gọi K là giao điểm của ME và NF G là giao điểm của MC và NB. Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD. Câu 5. 2 0 điểm Viết n số thực có tổng bằng n 1 n 1 quanh một đường tròn. Chứng minh rằng ta có thể gắn nhãn cho các số đó theo chiều kim đồng hồ là x1 x2 xn sao cho x1 x2 xk k 1 1 k n. - HẾT - https Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký giám thị 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .