tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 5 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 5 Phương trình Vi phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Phương trình Vi phân cấp 1; Phương trình Vi phân cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương V Phương trình Vi phân Phương trình Vi phân cấp 1 Phương trình Vi phân cấp 2 75 Phương trình vi phân cấp1 Pt vi phân cấp một là một hệ thức f x y y 0 hay y f x y hay dy f x y dx Hàm số y ϕ x C thỏa pt với mọi C đgl nghiệm tổng quát của pt nghiệm tổng quát cho C C0 suy ra y ϕ x C0 đgl nghiệm riêng của pt cho Nếu nghiệm tổng quát được cho dưới dạng hàm ẩn ϕ x y C 0 thì đgl tích phân tổng quát của pt. Còn nếu có nghiệm ϕ x y C0 0 thì đgl tích phân riêng 76 Các dạng phương trình vi phân cấp 1 Pt có biến phân ly Pt tuyến tính cấp 1 Pt ttính thuần nhất Pt ttính không thuần nhất 77 Phương trình có biến phân ly Dạng 1 f x dx g y dy . Cách giải f x dx g x dx Dạng 2 f1 x g1 y dx f2 x g2 y dy 0. Cách giải Nếu g1 y f2 x 0. Chia 2 vế pt 2 cho g1 y f2 x đưa về dạng 1 Nếu g1 y f2 x 0 g1 y 0 hay f2 x 0 y a or x b là các nghiệm riêng của pt cho Vd1 T 90 dy x x a 2 y 2 1 dy 2 y 2 1 dx dx x 1 x 1 dy xdx 1 1 2 2 arctgy ln x 1 C y tg ln x 1 C 2 2 y 1 x 1 2 2 78 b Giải y 3x2 1 với đk ban đầu y x 1 1 dy 1 3x 2 dy 3x 2 dx y x 3 C là ntquát dx Thay x 1 y 1 ta có C 0. Vậy nriêng của 1 là y x3 Vd 2 T 90 a 1 x ydx 1 - y xdy 0 1 1 x y 1 1 1 xy 0 1 dx dy 1 dx 1 dy x y x y 1 1 1 dx 1 dy ln x x y ln y C x y ln xy x y C là tích phân tquát của 1 xy 0 x 0 v y 0 là các nriêng của pt cho 1 79 Vd T 90 c xdx y 1 dy thỏa 0 1 y 0 0 x y 1 2 2 1 xdx y 1 dy C 2 2 x y 1 2C 2 2 là tích phân tquát của 1 Vì y 0 0 1 C x 2 y 1 là 2 tích phân riêng của 1 2 1 80 Phương trình tuyến tính cấp 1 Dạng TQ y p x y q x 1 với p x q x là những hàm liên tục. q x 0 1 đgl pt tuyến tính thuần nhất q x 0 1 đgl pt tuyến tính không thuần nhất Cách giải Bước 1 Giải y p x y 0 2 dy Nếu y 0 2 p x dx ln y p x dx ln C y NTQ của 2 y Ce p x dx Ta có y 0 là một nghiệm riêng của 2 ứng với C 0. 81 Pt y p x y q x 1 y Ce Cho C biến thiên C C x . p x dx Bước 2 Từ NTQ Tìm C x sao cho y thỏa 1 dy p x dx dC p x dx e Cp x e dx dx 1 e p x dx dC p x dx p x dx Cp x e Cp x e q x dx dC q x e p x dx dx C q x e p x dx dx λ B 3 NTQ của 1 y e p