tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát; ma trận của ánh xạ tuyến tính; thuật toán tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức. | Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát a Định nghĩa Cho X Y là 2 kgvt trên . Ánh xạ T X Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau 1 T x T x x X 2 T x y T x T y x y X. Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chú ý Đối với ánh xạ tuyến tính viết tắt là AXTT ký hiệu T x còn được viết là Tx . Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với T x y Tx Ty x y X . T X Y . Trong đó X Y lần lượt là vector không của X và Y . Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 2 VD 1. Cho ánh xạ T được định nghĩa T x1 x 2 x 3 x1 x2 x 3 2x 1 3x 2 . 3 Trong xét x x1 x 2 x 3 y y1 y2 y 3 . Với tùy ý ta có T x y T x1 y1 x 2 y2 x 3 y3 x 1 y1 x2 y2 x3 y3 2x 1 2 y1 3x 2 3 y2 x 1 x2 x 3 2x 1 3x 2 y1 y2 y 3 2y1 3y2 Tx Ty. 3 2 Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ vào . Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 2. Cho ánh xạ f xác định như sau f x y x y 2 3y . Xét u 1 2 v 0 1 ta có f u v f 1 1 1 1 2 0 5 f u f v 1 8 1 1 0 7 f u v f u f v . 2 2 Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ vào . Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox Oy T x y x 0 T x y 0 y . Phép đối xứng qua trục Ox Oy T x y x y T x y x y . Phép quay 1 góc quanh gốc tọa độ O T x y x cos y sin x sin y cos . y M a sin b cos b M a cos b sin O a x Chương 4. Ánh xạ tuyến tính b Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính T X Y . Tập x X Tx Y được gọi là nhân của T . Ký hiệu là KerT . Vậy KerT x X Tx Y . Tập T X Tx x X được gọi là ảnh của T . Ký hiệu là RangeT hoặc ImT . Vậy ImT Tx x X . Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Tính chất Cho ánh xạ tuyến tính T X Y khi đó KerT là không gian con của X ImT là không gian con của Y Nếu S là tập sinh của X thì T S là tập sinh của ImT T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT X . Định lý Cho ánh xạ tuyến tính T X Y khi đó dim KerT dim ImT dim X . Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chú ý Khi n m ta gọi f n n là phép biến đổi tuyến