tailieunhanh - Chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp so sánh giá trị của đồ thị lồi, lõm tại các điểm cực biên

Trong bài viết này trình bày chứng minh một số bất đẳng thức hay và khó, trong các kì thi học sinh giỏi bằng cách nhìn vào điểm mút của đồ thi lồi, lõm. Một hình ảnh trực quan sinh động mà mọi học sinh đều dễ dàng nhận thấy bằng hình học. Đặc biệt đồ thị của đoạn thẳng có thể xem là đồ thị lồi, cũng có thể xem là đồ thị lõm, sẽ được áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết! | Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 C HỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA ĐỒ THI LỒI LÕM TẠI CÁC ĐIỂM CỰC BIÊN Nguyễn Văn Nhiệm Trường THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Một trong những con đường hình thành nhận thức đó là Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng từ các ví dụ cụ thể đến khái niệm tổng quát. Trong bài viết này trình bày chứng minh một số bất đẳng thức hay và khó trong các kì thi học sinh giỏi bằng cách nhìn vào điểm mút của đồ thi lồi lõm. Một hình ảnh trực quan sinh động mà mọi học sinh đều dễ dàng nhận thấy bằng hình học. Đặc biệt đồ thị của đoạn thẳng có thể xem là đồ thị lồi cũng có thể xem là đồ thị lõm sẽ được áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. 1 Lí thuyết Định lý . Nếu hàm số f x ax b thoả mãn f α 0 và f β 0 α lt β thì f x 0 x α β . Chứng minh. Đồ thị của hàm số f x ax b là một đường thẳng nên theo tính chất của đoạn thẳng Nếu hai đầu mút của đoạn thẳng là hai điểm A α f α B β f β ở phía trên trục hoành thì đoạn thẳng đó nằm phía trên trục hoành . Định lý . Nếu f x ax b thì min f α f β f x max f α f β x α β . Mở rộng Định lý . i Nếu f x là hàm lồi đồ thị quay bề lõm lên phía trên trên α β thì f x max f α f β x α β . ii Nếu f x là hàm lõm đồ thị quay bề lõm xuống phía dưới trên α β thì f x min f α f β x α β . 1 Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 2 Áp dụng Bài toán IMO -84 . Cho x y z là các số thực không âm sao cho x y z 1. Chứng 7 minh rằng 0 xy yz zx 2xyz . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào 27 Cách giải. vì x y z 0 1 2xyz xy yz xy yz zx 2xyz xz 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số bằng 0 và một số bằng 1. 7 7 Đặt t yz xy yz zx 2xyz 1 2x t x 1 x f t 0 t 27 27 2 1 x . 4 7 1 7 1 1 x 2 Ta có f 0 x 1 x lt 0 và f 27 4 27 108 4 54x3 27x2 1 x 1 3 2 6x 1 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 108 12 1 z . 3 20 Bài toán . Cho a b c 0 1 a b c 2. Chứng minh rằng ab bc ca 2abc . 27 2 2 2 a Cách giải. Giả sử a b c 1 a . Đặt t bc 0 t . Bđt 3 4 20 20 f t 1 2a t a 2 a 0. Ta có f 0 a2 2a gt 0 và f