tailieunhanh - Chuyên đề Giá trị Min-Max và bất đẳng thức - Toán lớp 6

Chuyên đề Giá trị Min-Max và bất đẳng thức - Toán lớp 6 dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi môn Toán. Giúp bạn củng cố và nâng cao kiến thức cũng như khả năng làm toán cách nhanh và chính xác nhất, giúp các em học sinh nắm bắt được phương pháp giải bài tập. | 1 CHUYÊN TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÂM CẦN ĐẠT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với mọi n và mọi A ta có A2 n 0 và A2 n 0 khi A 0 . Với mọi A ta có A 0 và A 0 khi A 0 . 1 1 A B với A B cùng dấu thì . A B An 0 A 0 với n là số tự nhiên . II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn. Với n A là biểu thức chứa x y . và m là số tùy ý ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau Loại 1 Tìm GTNN của biểu thức dạng k . A2 n m với k 0 . Hướng giải Với k 0 và mọi A ta có A2 n 0 k . A2 n 0 k . A2 n m m . Do đó GTNN của k . A2 n m là m khi A 0 . 4 Ví dụ 1 Tìm GTNN của biểu thức A 2 x 5 3 . Lời giải 4 4 4 5 Với mọi x ta có 2 x 5 0 2 x 5 3 3 và 2 x 5 0 khi 2 x 5 0 hay x . 2 4 5 Vậy GTNN của biểu thức A 2 x 5 3 là 3 khi x . 2 Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 2 a A 4 x 1 2019 2020 b B 2021 x 2 2022 Lời giải 2 2 a Vì 4 x 1 0 x nên 4 x 1 2019 2019 . 2 Dấu bằng xảy ra khi 4 x 1 0 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2019 khi x 1 . 2 2020 2020 b Vì 2021 x 2 0 x 2021 x 2 2022 2022 . Dấu bằng xảy ra khi 2020 2021 x 2 0 x 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 2022 khi x 2 . 2020 30 Ví dụ 3 Tìm GTNN của biểu thức C x y 4 y 3 25 . Lời giải 2020 2020 Với mọi x y ta có x y 0 và x y 0 khi x y 0 hay x y . 30 30 30 Với mọi y ta có y 3 0 4. y 3 0 và y 3 0 khi y 3 0 hay y 3 . 2020 30 2020 30 Do đó với mọi x y ta có x y 4 y 3 0 x y 4 y 3 25 25 hay B 25 . Ta có B 25 khi xảy ra đồng thời x y và y 3 hay x y 3 2020 30 Vậy GTNN của biểu thức C x y 4 y 3 25 là 25 khi x y 3 . Ví dụ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 2n 4n A x 1 y 1 10 và B x 2 4 y 1 100 n Lời giải x 1 2 0 x 2 4 Ta có 4 A x 1 y 1 10 10 y 1 y x 1 2 0 x 1 Dấu bằng xảy ra khi 4 . y 1 0 y 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất A 10 khi y 1 x 2 2 n 0 x 2n 4n Ta có 4n x 2 4 y 1 100 100 4 y 1 0 y x 2 2 n 0 x 2 Dấu bằng xảy ra khi 4n . 4 y 1 0 y 1 x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất B 100 khi . y 1 Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau A x x 1 x 30 3 Phân tích Với bài toán mà