tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, giới thiệu đến các bạn ‘Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc’ để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi! | SỞ GD amp ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 11 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN 10 Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề x 2 x 2 y y 1 5 y 3 Bài 1 4 0 điểm . Giải hệ phương trình x y . y2 2x 7 x 2 y 0 Bài 2 4 0 điểm . a. Tìm tất cả các giá trị có thể có của biểu thức P x 4 y 4 z 4 trong đó x y z là các số thực thỏa mãn x 2 yz y 2 zx z 2 xy 2. b. Cho Ω là tập hợp các bộ bốn số thực a b c d thỏa mãn a 2 b2 c2 d 2 2 a b c d . Tìm tất cả các số thực x sao cho x a x b x c x d 0 với mọi bộ a b c d thuộc Ω. Bài 3 4 0 điểm . Cho bộ ba số x y p trong đó x y là các số nguyên dương và p là số nguyên tố. Xét phương trình x5 x 4 1 y . p a. Với p 2 chứng minh rằng không tồn tại x y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên. b. Tìm tất cả các bộ ba số x y p thỏa mãn phương trình trên. Bài 4 6 0 điểm . Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn I . Đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại D E F . Đường thẳng qua D vuông góc với EF cắt EF tại điểm X và cắt đường tròn I tại K K D . XE AC BC AB a. Chứng minh rằng . XF AB BC AC b. Đường thẳng AK cắt O tại điểm L L A . Các tia KI IL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC lần lượt tại N M N I M I . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác KFB KEC cắt đường thẳng EF lần lượt tại P Q P F Q E . Chứng minh rằng các điểm N C P thẳng hàng. c. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn. Bài 5 2 0 điểm . Cho tập hợp S 1 2 3 . 2022 . Một tập con A của S được gọi là tập con Tốt của tập S nếu trong A có ba số phân biệt x y z thỏa mãn tính chất tồn tại ba số a b c phân biệt trong S sao cho x c y a z b. Số tự nhiên n 1 n 2022 được gọi b c a là số Đẹp của tập S nếu mọi tập con có n phần tử của tập S đều là tập con Tốt của tập S. a. Chứng minh rằng n 1012 không phải là số Đẹp của tập S . b. Tìm số Đẹp nhỏ nhất của tập S . - Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì