tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: giới hạn hàm một biến; vô cùng bé và vô cùng lớn; sự liên tục của hàm một biến số; .Mời các bạn cùng tham khảo! | HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 5 GiỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BiẾN Giảng viên TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn Toán Email trinhthihuong@ X0 hữu hạn L hữu hạn X0 hữu hạn L vô hạn lim f x L x x0 X0 vô hạn L hữu hạn X0 vô hạn L vô hạn I. Giới hạn hàm một biến . Định nghĩa Cho hàm số xác định tại một lân cận của 0 hàm số có thể không xác định tại 0 . Ta nói hàm số dần tới số thực L nếu gt 0 gt 0 0 lt 0 lt ℎì lt Kí hiệu lim 0 . . Giới hạn 1 phía Giới hạn trái tại 0 0 lim lim 0 0 0 Đ ịnh l ý Điều kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn khi 0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái tại 0 và hai giới hạn đó bằng nhau. lim lim lim 0 0 0 Ví dụ Xét hàm f x x lim f x 0 x 0 lim f x 0 x 0 lim f x 0 x 0 Ví dụ Xét hàm f x x x lim f x 1 x 0 lim f x 1 x 0 không tồn tại lim f x x 0 Ví dụ Tính các giới hạn một phía sau lim arctan lim arctan lim arccot lim arccot Khi a gt 1 lim lim lim lim Khi 0 lt a . Tính chất phép tính của giới hạn . Tính chất Giới hạn của hàm số trong 1 quá trình nếu tồn tại là duy nhất nếu có ít nhất hai quá trình riêng mà hàm số dần tới 2 giá trị khác nhau thì không tồn tại giới hạn . . Phép tính giới hạn Định lý 1 Cho lim 1 2 1 2 à ℎữ ℎạ Khi đó a. lim 1 2 b. lim . 1 . 2 1 c. lim 2 0 2 Định lý 2 Xét hàm số . Nếu lim 0 0 lim 0 lim 0 Hệ quả Nếu là hàm sơ cấp xác định tại 0 và lân cận của 0 . Khi đó lim 0 0 . Hai giới hạn quan trọng . Hệ quả tan a. lim 0 1 arcsin b. lim 0 1 arctan c. lim 0 1 Ví dụ Tính giới hạn sau arctan 3 . sin 2 lim 0 1 cos . . . Hệ quả 1 a. lim 0 1 ln 1 b. lim 0 1 1 c. lim 0 1 Ví dụ Tính giới hạn 2 lim 1 II. Vô cùng bé và vô cùng lớn . Định nghĩa Nói hàm là VCB khi 0 nếu limx x 0 0. Nói hàm là VCL khi 0 nếu limx x 0 . Ví dụ Khi 0 có các VCB sau x sin x arctan3 Khi có các VCL 2 2 3 2. chất của VCB VCL lim 0 là VCB khi 0 . Nghịch đảo của 1 VCL là 1 VCB nghịch đảo 1 VCB khác 0 là 1 VCL. Tổng hữu hạn các VCB khi 0 cũng là VCB. à ℎ 0 à ℎ 0 à ℎ 0 Nếu là VCB trong quá trình 0 và là hàm bị chặn khi 0 thì là