tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 2 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 2 Đạo hàm – vi phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm – vi phânP Qui tắc L/HOPITAL; Qui tắc L/HOPITAL; Công thức Taylor. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương II ĐẠO HÀM VI PHÂN Đạo hàm vi phân Qui tắc L HOPITAL Công thức Taylor 48 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y f x xác định trong a b và x0 a b Với x x0 x x x0 số gia của biến x tại x0 y y x0 số gia của hàm y tại x0 y f x f x 0 Nếu tồn tại giới hạn A lim lim hh x 0 x x x0 x x0 thì A đgl đạo hàm của hàm số f x tại x0 f x f x 0 y f x 0 lim lim x x0 x x0 x 0 x 49 Định nghĩa đạo hàm một phía Nếu tồn tại giới hạn A lim y lim f x f x 0 hh x 0 x x x0 x x0 thì A đgl đhàm bên phải của hsố f x tại x0 KH f x0 y f x f x 0 Nếu tồn tại giới hạn A lim lim hh x 0 x x x0 x x0 thì A đgl đhàm bên trái của hsố f x tại x0 KH f x0- Hàm số f x có đạo hàm tại x0 f x có đạo hàm bên phải đạo hàm bên trái tại x0 và f x0 f x0 50 Cho f x x xét đạo hàm tại x 1 x 0 Tại x 1 ta có f x f 1 x 1 1 1 lim lim lim f 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 Tại x 0 ta có f x f 0 x 1 lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x 0 x f không có đạo hàm tại x 0 51 Cho f x x xét đạo hàm tại x 0 f x f 0 x lim lim lim1 1 f 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x f x f 0 lim lim lim 1 1 f 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 Vậy f không có đạo hàm tại x 0 Nếu f x liên tục tại x0 thì không thể suy ra được f x có đạo hàm tại x0. Liên hệ giữa tính có đạo hàm và tính liên tục Nếu f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0. 52 Định nghĩa Hàm số f x có đạo hàm trong khoảng a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x a b Nếu có thêm f x có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b thì hàm số f x có đạo hàm trong đoạn a b Cho hàm số y f x xác định trên miền D và f x tồn tại với mọi x D. Khi đó f x lim f x x f x x 0 x Với f x x2 f x x f x x x 2 x 2 lim lim 2x f x 2x x 0 x x 0 x 53 Quy tắc tính đạo hàm u u x có đhàm u u x v v x có đhàm v v x 1 u v u v u u v v u 3 v v 2 2 uv u v v u 4 gof x g f x g f x .f x 1 5 Cho y f x có hàm ngược x f-1 y x y yx -π π VD y arcsinx x siny y 2 2 x y cos y 1 sin y 1 x 1 x 2 2 2 1 yx 54 1 x 2 Các công thức tính đạo hàm C 0 1 cot gx 2 1 cot g2 x sin x x αx α α 1 1 arcsinx a a ln a x x e e x x 1 x2 1 1 1 loga x ln x arccos x x ln a x 1 x2 sinx cosx