tailieunhanh - Số chính phương theo modul bậc tùy ý

Số chính phương là số nguyên dương bằng bình phương đúng của một số nguyên. Bài viết trình bày định nghĩa, định lí, hệ quả của các định lí về số chính phương; kí hiệu Legendre; luật thuận nghịch Gauss; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 SỐ CHÍNH PHƯƠNG THEO MODUL BẬC TÙY Ý Vũ Thị Thuần - Nguyễn Thị Đan Quế THPT Chuyên Hưng Yên 1 Kiến thức cơ sở Định nghĩa 1. Cho số nguyên dương m. Nếu hai số a và b có cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a dồng dư với b theo modul m. Kí hiệu a b mod m . Định lý 1 Fecmat bé . Giả sử p là số nguyên tố và mọi a Z a p a mod p . Hệ quả 1. i Với p là số nguyên tố a là số nguyên thỏa mãn a p 1 thì a p 1 1 mod p . ii Với p là số nguyên tố và a là số nguyên thỏa mãn a p 1 thì a p p 1 1 mod p2 . Định lý 2 Wilson . Cho p là số nguyên tố. Khi đó p 1 1 mod p . 2 Một số kết quả Số chính phương theo mod p Định nghĩa 2. Cho số nguyên tố p. Số nguyên a được gọi là số chính phương theo mod p nếu tồn tại số tự nhiên x sao cho x2 a mod p . Hiển nhiên nếu p là ước của a thì a là số chính phương theo mod p do đó ta chỉ xem xét trong trường hợp a p 1. Ví dụ 1. 8 là số chính phương theo mod 17 vì 52 8 mod 17 . Nhưng 8 lại không phải là số chính phương theo mod 11 vì phương trình x2 8 mod 11 không có nghiệm. Ví dụ 2. Cho p là số nguyên tố lẻ a là số chính phương theo mod p a không chia hết cho p. Chứng minh rằng a là số chính phương theo mod pk với mọi số tự nhiên k. . Lời giải. Do a là số chính phương theo mod p nên tồn tại số tự nhiên x để x2 a .p. . Giả sử x2 a .pt nhưng không chia hết cho pt 1 . Khi đó x2 a pt .k với k p 1. Khi đó ta chứng minh tồn tại x 0 sao cho x 02 a chia hết cho pt 1 . Xem xét x 0 ở dạng x 0 x pt .r. Khi đó x 02 a x2 2xpt r p2t r2 a pt k 2xpt r 214 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 . Do đó để x 02 a chia hết cho pt 1 thì k . 1 . Vì p lẻ a không chia hết cho p x2 a .p nên 2x p 1. Do đó theo định lý Bezout tồn tại r thỏa mãn 1 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bổ đề 1. Cho p là số nguyên tố lẻ. Phương trình x2 a mod p chỉ có 1 nghiệm x 0 mod p nếu a 0 mod p và vô nghiêm hoặc có 2 nghiệm mod p nếu p - a. Chứng minh. Nếu a 0 mod p ta có x2 0 mod p nên p x2 suy ra p x hay x 0 mod p . Nếu p - a và phương .

TÀI LIỆU LIÊN QUAN
TỪ KHÓA LIÊN QUAN