tailieunhanh - Đường tròn Apllonius và một bài toán IMO

Bài viết "Đường tròn Apllonius và một bài toán IMO" tập trung nhắc lại kiến thức và các bài toán liên quan đến Đường tròn Apllonius từ khâu vẽ hình tới giải bài toán đều dùng tới Đường tròn Apllonius. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT BÀI TOÁN IMO Nguyễn Bá Đang Hội Toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Trước năm 2000 trong chương trình môn toán Trung học phổ thông có đưa bài toán quỹ tích Đường tròn Apllonius vào sách giáo khoa lớp 10. Hiện nay do giảm tải nên chỉ còn các lớp Chuyên toán được học bài toán này. Những năm gần đây trong các kỳ thi Olympiad ở rất nhiều nước đã đưa bài toán này với tính chất áp dụng. Kỳ thì IMO lần thứ 59 vừa qua có bài số 6 liên quan đến vấn đề này. Bài này được đánh giá là bài khó hầu hết các thí sinh đều không giải được chỉ có trên mười em làm trọn vẹn. Từ khâu vẽ hình tới giải bài toán đều dùng tới Đường tròn Apllonius. Chính vì thế tôi muốn nhắc lại kiến thức và các bài toán liên quan đến Đường tròn Apllonius trong Hội thảo này. 1 Đường tròn Apollonius Bài toán 1. Cho đoạn thẳng AB a k là số cho trước 0 lt k lt 1 M là điểm chuyển MA động trong mặt phẳng sao cho k. Tìm quỹ tích của điểm M. MB Lời giải. 90 Theo tính chất Phần thuận Dựng MD ME là phân giác của MAB nên DME DA EA MA DA k đường phân giác và giả thiết thì k nên suy ra DB EB MB DA DB k 1 ak ak DA tương tự AE . 1 k 1 k 1 90 suy ra D E cố định DME suy ra M thuộc đường tròn đường kính DE. 59 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Phần đảo Lấy M trên đường tròn đường kính DE qua B kẻ đường vuông góc DM cắt M D và MA tại H và K suy ra BK k M E suy ra BK AB k 1 BH DB ak ak 2ak 0 0 DE AE AD 2 .Từ 1 EM AE k EM DE k 1 k 1 k 1 a suy ra DB k 1 BH DB a k2 1 k 1 BH BK suy ra suy ra 2 EM DE k 1 2ak 2k EM EM suy ra BK 2BH suy ra HB HK suy ra MBK là tam giác cân suy ra M D là phân 0 0 giác AM B suy ra M E là phân giác ngoài AM B. Đây là quỹ tích cơ bản được gọi là Đường tròn Apollonius mang tên nhà toán học Apolonius. Bài toán 2. Cho tam giác ABC không cân. Điểm M thay đổi trong tam giác thỏa mãn điều kiện AMC ABC AMB ACB. 60 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Chứng minh rằng M thuộc đường tròn cố định. Lời giải. Dựng ra phía ngoài tam giác .