tailieunhanh - Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 - TS. Nguyễn Duy Thuận (chủ biên)

Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 gồm 3 chương, trình bày những nội dung sau: Ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ; dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, một phần của lý thuyết dạng trong đại số tuyến tính nhưng lại có ảnh hưởng sâu sắc đến hình học, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng; một số bài toán của quy hoạch tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo. | Chương V MA TRẬN MỞ ĐẦU Ta đã biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục tìm hiểu ma trận sâu hơn nữa đặc biệt nghiên cứu mối liên hệ giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính. Ta sẽ thấy rằng ma trận và ánh xạ tuyến tính liên hệ mật thiết với nhau. Khi đã cố định hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian ấy cho một ma trận và ngược lại một ma trận xác định một ánh xạ tuyến tính duy nhất. Nhờ có ma trận mà ta xác định được giá trị riêng và vectơ riêng một ánh xạ tuyến tính do đó xác định được những không gian con bất biến ứng với những giá trị riêng. Ma trận cũng xác định những dạng ánh xạ tuyến tính đặc biệt được dùng đến ở chương Vi như các phép biến đổi đối xứng biến đổi trực giao. Trái lại nhờ các vectơ riêng và giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính mà có thể đưa ma trận trở về dạng đơn giản đó là ma trận chéo. Nội dưng của chương này là - Các phép toán trên các ma trận - Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông - Giá trị riêng vectơ riêng - Chéo hoá một ma trận. Bạn đọc cần nắm vững những vấn đề này vì chúng được áp dụng vào ngay chương sau và trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Để học tốt chương này bạn đọc cần nắm vững những kiến thức về không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính. Trong cuốn sách này ta kí hiệu tập hợp các ma trận kiểu m n với các thành phần trong trường K bởi Mat K . 183 1. MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . Định nghĩa. Giả sử V và W là hai K-không gian vectơ với cơ sở lần lượt là ε ε 1 . ε 2 . ε n ξ ξ 1 ξ 2 . ξ m f V W là một ánh xạ tuyến tính mà được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở ε và ξ Có thể viết gọn các đẳng thức 1 như sau Chú ý Vì ξ là một cơ sở của W nên các thành phần an được xác định duy nhất do đó ma trận A được xác định duy nhất. Ví dụ 1. Giả sử Iv V V là đồng cấu đồng nhất của không gian vectơ V và ε ε 1 . ε 2 . ε n là một cơ sở bất kì trong V. Khi đó Do đó ma trận của IV đối với cơ sở ε là 184 I được gọi là ma .