tailieunhanh - Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số

Các định lý cơ bản về tạo hàm đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Bài viết trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ định lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ. | TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 2017 31 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG MỘT SỐ B-I TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Nguyễn Văn Hào1 Nguyễn Thị Thanh Hà2 Vũ Thị Ngọc Diệu1 1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 2 Trường Đại học Công nghiệp Việt Trì Tóm tắt tắt ắt Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ ñịnh lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ. Từ khóa khóa Định lý giá trị trung bình giới hạn của dãy số hàm số liên tục hàm số khả vi. Nhận bài ngày gửi phản biện chỉnh sửa và duyệt ñăng ngày Liê n hệ tá c giả Nguye n Vă n Hà o Email nguyenvanhaodhsphn2@ 1. MỞ ĐẦU Các ñịnh lý cơ bản về ñạo hàm ñóng vai trò quan trọng trong Toán học cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Điều ñó người ta có thể kể ñến một số vấn ñề như bài toán tồn tại nghiệm của các phương trình ñại số ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương trình và toán tử trong việc giải gần ñúng của lý thuyết số bài toán tìm cực trị của hàm số Khởi nguồn của các ñịnh lý giá trị trung bình là Định lý Rolle ñược phát biểu như sau Định lý 1 Định lý Rolle Giả sử hàm y f x liên tục trên ñoạn a b khả vi trên khoảng a b và thỏa mãn ñiều kiện f a f b . Khi ñó tồn tại ít nhất một số c a b sao cho f c 0 . Theo một khía cạnh nhìn lại cách chứng minh của ñịnh lý Lagrange và ñịnh lý Cauchy chúng ta thấy hai ñịnh lý ñó là hệ quả của ñịnh lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm phụ cũng thỏa mãn các giả thiết của ñịnh Rolle tương ứng là f b f a ϕ x f x f a x a b a f b f a Và ϕ x f x f a g b g a g x g a . 32 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI Từ việc thiết lập các hàm phụ ñó ta nhận ñược hai ñịnh lý quan trọng sau Định lý 2 Định lý Lagrange Giả sử hàm số f x hàm liên tục trên ñoạn a b và khả vi trên khoảng a b . Khi ñó tồn tại số c a b sao cho f b f a f c b a Hay f b f a f c b a Định lý 3 Định lý Cauchy Giả sử các hàm số f x và g x liên tục trên ñoạn khả vi trên khoảng a b và ngoài ra g x khác 0 với mọi giá trị của x thuộc .