tailieunhanh - PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực. Ta đưa thêm tham biến t để xét biểu thức f x Q x t . Nếu f x 0 hoặc f x 0 với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t0 để f x 0 thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x) | PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CựC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q x . Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q x luôn xác định trên tập số thực. Ta đưa thêm tham biến t để xét biểu thức f x Q x 1. Nếu f x 0 hoặc f x 0 với mọi x thuộc tập xác định của Q x và tồn tại giá trị t0 để f x 0 thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q x VD1 Tìm GTLN GTNN của biểu thức __ x 8x 7 x 1 Giải Xét f x Q x - t x 8x 7 t x 1 x2 1 Vì x x 1 0 với mọi số thực x nên dấu của f x chính là dấu của tử thức g x x 8x 7 t x 1 hay g x 1 t x 8x 7 t 1 Xét tam thức g x ax2 bx c a x b 2 A với A b2 4ac 2a 4a Nếu a 0 thì g x bx c luôn cùng dấu khi b 0 g x c và khi c 0 g x 0 Nếu a 0 thì g x 0 với mọi x khi A 0 và g x 0 khi và chỉ khi A 0 Nếu a 0 thì g x 0 với mọi x khi A 0 và g x 0 khi và chỉ khi A 0 Áp dụng vào 1 ta có A 16- 1 -t 7 -t -t2 8t 9 A 0 khi t -1 hoặc t 9 Với t -1 thì a 1 - t 2 0 nên g x 0 f x 0 Suy ra f x 0 g x 0 2 x 2 2 0 x -2 Với t 9 thì a 1 - t -8 0 nên g x 0 f x 0 Suy ra Q x có GTLN là 9 và xảy ra khi f x 0 s 2 1 g x 0 2 2 x -1 0 x 2. Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu thức Q x tức là xét một bất phương trình Q x t hoặc Q x t về việc xét một phương trình A t 0 nên có thể nói phương pháp tham biến là chiếc cầu nối giữa bất phương trình và phương trình. Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q x sang biểu thức hai biến Q x y bằng phương pháp tham biến lúc đó f x y Q x y - t Và xét tử thức của f x y theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu và tồn tại giá trị bằng 0 VD2 Tìm GTLN GTNN của biểu thức Q 332 - 4y Với x y khác 0 0 x y Giải Vì x2 y2 luôn luôn dương trừ giá trị x y 0 nên dấu của f x y chính là dấu của tử thức g x y 3y2 - 4xy -1 xx y2 Hay g x y 3 -t y2 - 4xy - tx2 1 Nếu t 3 thì g x y 3x2 - 4yx Vì A 4y2 0 nên g x y 0 khi và chỉ khi y 0 x 0 đã bị loại trừ Xét 1 theo biến y ta có A y 4 x 2 1 3 -1 x 2 4 3t -t2 x2 Ay 0 với mọi x khi t -1 hoặc t 4 Với t -1 thì a 3 - t 4 0 nên g x 0 f x y 0