tailieunhanh - Định giá p-adic và ứng dụng

Bài viết "Định giá p-adic và ứng dụng" xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan và định giá p−adic của số tự nhiên n. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 ĐỊNH GIÁ p-ADIC VÀ ỨNG DỤNG Phan Ngọc Toàn Trường THPT Số 1 An Nhơn Bình Định Tóm tắt nội dung Trong bài viết này ta xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan. 1 Kiến thức cơ sở Định nghĩa 1. Số v p n được ký hiệu cho số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn của n và quy ước v p n 0 khi p không là ước của n. Số v p n được gọi là định giá p adic của số tự nhiên n. Tính chất 1. Cho x y z là các số nguyên. Khi đó 1 v p xy v p x v p y . 2 v p x n p x . 3 v p x y gt min v p x v p y . Dấu xảy ra v p x 6 v p y . 4 v p gcd x y z min v p x v p y v p z . 5 v p lcm x y z max v p x v p y v p z . 6 x y khi và chỉ khi υ p x υ p y p . Bổ đề 1. Cho x y là các số nguyên không nhất thiết nguyên dương và n là một số nguyên dương. Cho p là số nguyên tố bất kỳ đặc biệt có thể p 2 sao cho p x y và n p x p y p 1. Khi đó v p x n yn v p x y . 152 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Bổ đề 2. Cho x y là các số nguyên không nhất thiết nguyên dương và n là một số nguyên dương lẻ. Cho p là số nguyên tố bất kỳ đặc biệt có thể p 2 sao cho p x y và n p x p y p 1. Khi đó v p x n yn v p x y . Định lý 1. Cho x và y là các số nguyên không nhất thiết phải nguyên dương n là một số nguyên dương và p là một số nguyên tố lẻ sao cho p x y và x p y p 1. Khi đó v p x n yn v p x y v p n . Định lý 2. Cho x y là hai số nguyên n là một số nguyên dương lẻ và p là số nguyên tố lẻ sao cho p x y và x p y p 1. Khi đó v p x n yn v p x y v p n . Định lý 3. Cho x và y là hai số nguyên lẻ sao cho 4 x y . Khi đó v2 x n y n v2 x y v2 n . Định lý 4. Cho x y là hai số nguyên lẻ và n là một số nguyên dương chẵn. Khi đó v2 x n yn v2 x y v2 x y v2 n 1. Hệ quả 1. Cho x và n là các số nguyên dương. Khi đó 1 Nếu p gt 2 là số nguyên tố sao cho v p x 1 α N thì với mọi β N ta có v p x n 1 α β v p n β. 2 Nếu n chẵn sao cho v2 x2 1 α N thì với mọi β N ta có v2 x n 1 α β v2 n β 1. Định lý 5 Legendre . Cho p nguyên tố. Khi đó ta có công thức