tailieunhanh - Tài liệu Olympic đại số

Tài liệu Olympic đại số có nội dung gồm 3 chương trình bày lý thuyết và bài tập của ma trận - định thức - hệ phương trình; trị riêng - véc tơ riêng; đa thức . Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu. | Tài Liệu Olympic Đại Số ThS. Nguyễn Hữu Hiệp E-mail nguyenhuuhiep47@ Ngày 5 tháng 12 năm 2015 Chương 1 Ma trận-Định thức-Hệ phương trình 1 Định thức Phép thế Định nghĩa . Cho Xn 1 2 . . . n n 1. Một sóng ánh σ Xn Xn gọi là một phép thế trên Xn . Nếu σ là ánh xạ đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất. Một phép thế thỏa σ i j σ j i σ k k k 6 i j i 6 j gọi là một chuyển trí ký hiệu là i j . Tập tất cả các phép thế của Xn ký hiệu là Sn . 1 2 3 . n Một phép thế có thường được ký hiệu . σ 1 σ 2 σ 3 . . . σ n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ví dụ 2 4 . 3 1 2 5 4 1 4 3 2 5 Định nghĩa Cho σ là một phép thế trên Xn . Nếu tồn tại i j 1 i lt j σ j thì σ i σ j gọi là một nghịch thế. 1 2 3 Ví dụ Phép thế . có 2 nghịch thế là 3 1 3 2 . 3 1 2 Định nghĩa Dấu của phép thế σ ký hiệu là sign σ bằng 1 nếu số nghịch thế là chẵn σ gọi là phép thế chẵn và bằng -1 nếu số nghịch thế là lẻ σ gọi là phép thế lẻ . 1 2 3 4 Ví dụ Phép thế có 5 nghịch thế nên sig σ 1. 4 3 1 2 Mệnh đề Cho 2 phép thế σ µ trên cùng tập Xn ta có Mọi chuyển trí là phép thế lẻ. Q i j sign σ . 1 Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A aij là ma trận cấp n. Định thức ma trận A được định nghĩa là Y det A A sign σ a1 σ 1 a2 σ 2 . . . anσ n . σ Sn Chú ý Việc dùng định nghĩa để tính định thức là rất phức tạp. Thông thường tính định thức ta dùng phương pháp khai triển và các tính chất mà các em học trên lớp. Tuy nhiên định nghĩa này có ý nghĩa lớn về mặt lý thuyết. Hầu hết các tính chất về định thức được suy ra từ định nghĩa này. Ta có thể dùng định nghĩa này để làm một số bài toán chứng minh khá thú vị. Định nghĩa Cho A là ma trận cấp n 1. Cho k hàng 1 i1 lt i2 lt lt ik n và k cột 1 j1 lt j2 lt lt jk n. Ma trận con của A lấy từ k hàng và k cột trên ký hiệu là aji11 i j22 . i . jk k và định nghĩa Mij11 i j22 . i . jk k det aji11 i j22 . i . jk k . 2. Bù đại số của ma trận aji11 i j22 . i . jk k được định nghĩa là Aji11 i j22 . i . jk k 1 i1 i2 ik j1 j2 jk det bji11 i j22 . i . jk k . trong đó bji11 i