tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Nghệ An

giới thiệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Nghệ An nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập Toán một cách thuận lợi. Chúc các bạn thành công! | HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1a. Cho phương trình sin x cot x 2 3 cos x . Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0 2020π Lời giải Điều kiện sin x 0 x kπ k . π Ta có x kπ không thỏa mãn phương trình đã cho. 2 π Xét x 2 kπ phương trình sin x cot x 2 3 cos x tan x cot x 2 3 1 tan x 2 3 tan x 2 3 tan 2 x 2 3 tan x 1 0 tan x tan x 2 3 π x mπ 12 1 với m n . 5π x nπ 12 1 5 1 Xét m n m n với m n nên phương trình vô nghiệm. Suy ra các 12 12 3 nghiệm của hệ 1 là khác nhau. π 1 1 0 lt 12 mπ lt 2020π 12 lt m lt 2020 12 Do x 0 2020π nên ta có 0 lt 5 π 5 lt n lt 2020 5 nπ lt 2020π 12 12 12 Suy ra m 0 1 2 .2019 và n 0 1 2 .2019 . Vậy phương trình đã cho có tất cả 4040 nghiệm. 4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0 1 Câu 1b. Cho hệ phương trình 4 x 2 y 2 2 3 4 x m 2 x y m là tham số . Tìm tất các các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm. Lời giải 3 x 4 Điều kiện y 5 2 3 Ta có 1 4 x3 x y 3 5 2 y 2 x 3 2 x 5 2 y 5 2y 3 Xét hàm số f u u 3 u f u 3u 2 1 gt 0 u . Suy ra f u luôn đồng biến trên x 0 x 0 f 2 x f 5 2 y 2x 5 2 y 2 4 x 5 2 y 2 y 5 4 x 2 Thế vào 2 ta được 2 2 5 4 x2 4x 2 3 4x m 2 2 2 5 4x2 3 Xét g x 4 x 2 3 4x với x 0 . 2 4 5 4 4 3 g x 8 x 8 x 2 x 2 4 x 4 x 2 3 lt 0 x 0 2 3 4x 3 4x 4 3 265 25 Để hệ đã cho có nghiệm g m g 0 m 2 3. 4 64 4 Vậy các giá trị m nguyên cần tìm là 5 6 7 8 9 . Câu 2. 3 a Số phần tử của không gian mẫu 30 Gọi a là biến cố cần tính xác suất. Giả sử 3 số ghi trên ba quả cầu là a b c. Ta có 2 suy ra a c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Từ 1 đến 30 cóa 15 số chẵn 15 số lẻ. 2 Suy ra số kết quả thuận lợi của A là 2 15 . 2 2 15 3 Xác suất cần tính là 3 58 30 b Cho dãy số un xác định bởi u1 3 un 1 un2 2 n N . Chứng minh rằng 5 .u n 1 4 là một số chính phương. 2 Lời giải Ta có un 1 un2 2 un2 un 1 2 u1u2u3 .un u2 2 u3 2 . un 2 2 5 u1u2 .un u1 2 . un 2 . 2 Mà un 1 un2 2 un 2 un 2 . u1 2 u1 2 . un 2 Nên un 1 2 u1 2 u1 2 . un 2 5 u1u2 .un un 1 2 5 u1u2 .un 4 un 1 2 un2 đpcm 2 2 Cách 2 u1 3 1 3 5 Xét hàm đa thức đặc trưng a 3 a 2 3a 1 0 a . 2 un 1 un 2 n N a