tailieunhanh - Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án - Trường Đại học KHTN ĐHQG Hà Nội (Vòng 2)

Tham khảo Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2020-2021 có đáp án - Trường Đại học KHTN ĐHQG Hà Nội (Vòng 2) dành cho các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi. | ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 MÔN THI TOÁN VÒNG 2 Thời gian làm bài 120 không kể thời gian phát đề Câu 1. x y x 1 4 a Giải hệ phương trình 2 . y xy x y 5 x3 y 3 12 y 13 243 7 7 7 b Giải phương trình x 12 2 x 12 24 3 x 0. Câu 2. a Tìm tất cả các số nguyên dương a b c sao cho cả ba số 4a 2 5b 4b 2 5c 4c 2 5a đều là bình phương của một số nguyên dương. b Từ một bộ bốn số thực a b c d ta xây dựng bộ số mới a b b c c d d a và liên tiếp xây dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số có thể khác thứ tự thì bộ số ban đầu phải có dạng a a a a . Câu 3. 900. Điểm E thuộc cạnh AC sao cho Cho tam giác ABC cân tại có BAC AEB 900. Gọi P là giao điểm của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của E lên AP. Gọi giao điểm của EQ và PK là F . a Chứng minh rằng bốn điểm A E P F cùng thuộc một đường tròn. b Gọi giao điểm của KQ và PE là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE. c Gọi giao điểm của FL và AB là S . Gọi giao điểm của KE và AL là T . Lấy R là điểm đối xứng của A qua L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc nhau. Câu 4. Với a b c là những số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng 2 1 1 1 4 a b c 3 1 1 3 . a b c abc bc ca ab -------------------- HẾT -------------------- LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a Với x y x 1 4 ta có 3 x3 y 3 12 y 13 x y 3 xy x y 12 y 1 1 3 x y 3 xy x y 3 x 1 x y y 1 1 3 x y 3 x y xy x 1 y 1 1 3 x y 3 x y x y 1 1 3 x y 1 Ngoài ra y 2 xy x y 5 y 1 x y x 1 x y 1 2 x y x y 2 1 x y 1 . 5 Do đó phương trình thứ hai của hệ tương đương x y 243 x y 2. Từ đó ta tìm được x y 1. Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x y 1 1 . b Đặt a x 12 và b 2 x 12. Khi đó phương trình trở thành a 7 b 7 a b 0 a b a 6 a 5b a 4b 2 a 3b3 a 2b 4 ab5 b 6 a b 7 7 a b a 6 a 5b a 4b 2 a 3b3 a 2b 4 ab5 b 6 a b 0 6 a b 7 a b 14a