tailieunhanh - Một bài toán số học hay với nhiều cách giải

Bài viết này, giới thiệu với các bạn 5 cách giải cho bài toán số 6 về Số học khá hay và khó trong kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 42 tại Hoa Kỳ. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC HAY VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI NGUYỄN DUY LIÊN THPT Chuyên Vĩnh Phúc Lời giới thiệu Giải được bài toán Số học hay và khó ta đã cảm thấy thích thú rồi. Nhưng nếu một bài toán Số học hay và khó mà giải được bằng nhiều cách mà từ đó ta có thể giải được hay tạo ra một số bài toán cùng lớp bài toán đó thì niềm vui còn nhân lên nhiều lần. Bài viết này tôi xin giới thiệu với các bạn 5 cách giải cho bài toán số 6 về Số học khá hay và khó trong kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế IMO lần thứ 42 tại Hoa Kỳ. Chúng ta cùng bắt đầu với bài toán đó nhé. Bài toán. Cho các số nguyên dương a b c d với a gt b gt c gt d gt 0. Giả sử ac bd b d a c b d a c . Chứng minh rằng ab cd không phải là số nguyên tố. Lời giải 1. Giả sử rằng ab cd là số nguyên tố. Ta có ab cd a d c b c a m gcd a d b c với m là số nguyên dương và gcd a d b c là ước số chung lớn nhất của a d và b c . Từ suy ra m 1 hoặc gcd a d b c 1. Trường hợp 1 m 1 thì gcd a d b c ab cd gt ab cd a b c d a d c 1 b c a 1 gcd a d b c điều này dẫn tới vô lý. 175 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. Trường hợp 2 gcd a d b c 1. Ta có ac bd a c b b c a kết hợp với đề bài ac bd b d a c b d a c ta được a c b b c a b d a c b d a c Suy ra a d . a c d b c b c d . Từ đẳng thức tồn tại số nguyên dương k sao cho a c d k b c và b c d k a d từ đó suy ra a b k a b c d k c d k 1 a b kết hợp với a gt b gt c gt d gt 0 ta có Nếu k 1 c d vô lý k a b Nếu k 2 thì 2 gt 2 vô lý. k 1 c d Từ sự vô lý của các trường hợp 1 và 2 nên ab cd không phải là số nguyên tố. Lời giải 2. Theo đề bài ac bd b d a c b d a c biến đổi ta được a2 ac c2 b2 bd d2 1 . Xét tứ giác ABCD với 600 BCD AB a BC d CD b DA c BAD 1200 . Rõ ràng tứ giác ABCD tồn tại qua việc dựng hình . α ADC Gọi ABC 1800 α. 176 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. Áp dung định lý hàm số côsin trong hai tam giác BAD và BCD ta có. BD2 a2 c2 2ac cos BAD b2 d2 2bd cos BCD Suy ra hằng đẳng thức 1 . Áp dung định lý hàm số côsin trong hai tam giác ABC và ACD ta có AC 2 a2 d2 2ad cos α b2 c2 2bc cos α Suy ra a2 d2 .