Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 part 4

iới hạn lặp. Giới hạn trên còn gọi là giới hạn đồng thời để phân biệt với khái niệm giới hạn lặp sau đây. Cho f (x, y) là hàm hai biến (hay tổng quát hơn, hàm hai bộ biến). Giả sử (x0 , y0 ) là điểm giới hạn của miền xác định của f . Xét các giới hạn | 28 Ví dụ. x xy x y n a lim _ 7 2 0 x y i 0 0 x2 y2 xy x y 1 x2 y2 x yl . . . V1 X2 y2 - 2--------x y2 -lx y hi x y 0 0 . . . sinxy . sinxy _ b lim lim y x 1.0 0. x y i 0 0 x x y i 0 0 xy c l ini x y không tồn tại. Để chứng minh điều này chỉ cần chọn 2 dữay chẳng hạn xk yk k k và x k yk k 0 đều tiến về 0 0 nhng f xk yk 0 còn f x k y k 1 1.3 Giới hạn lặp. Giới hạn trên còn gọi là giới hạn đồng thời để phân biệt với khái niệm giới hạn lặp sau đây. Cho f x y là hàm hai biến hay tổng quát hơn hàm hai bộ biến . Giả sử x0 y0 là điểm giới hạn của miền xác định của f. Xét các giới hạn a12 lim lim f x y a21 lim lim f x y a lim f x y . yiy0 XiX0 xìx0 yiy0 x y i x0 yo vấn đề Mối quan hệ giữa các giới hạn trên Trả lời lỏng lẻo xét các ví dụ sau Ví dụ. Với x0 0 y0 0. a f x y b f x y c f x y d f x y x y sin X sin y. Ta có a12 a21 không tồn tại a 0. x2 - y2 . . . 5 . Ta có a12 0 a21 1 còn a không tồn tại. x2 y xy x2 y Ta có a12 a21 0 còn a không tồn tại. x sin y. Ta có a12 0 a21 không tồn tại a 0. 2. Bài tập Tìm điều kiện để các giới hạn nêu trên tồn tại và a a12 a21. Một trong các điều kiện là Mệnh đề. Cho f X X Y R z x0 y0 là điểm tụ của X Y tương ứng. Giả sử i Tồn tại lim f x y g x dx E X. ii Tồn tại lim f x y h y đều theo y i.e. XiX0 e 0 Elổ 0 x G X d x x0 e d f x y h y e y G Y. Khi đó các giới hạn sau tồn tại và lim f x y lim lim f x y lim lim f x y . x y i x0 y0 XiX0 yiy0 yiy0 XiX0 III.l Giới hạn. 29 1.4 Giới hạn vô cùng - Giới hạn ở vô cùng. Ta còn xét các giới hạn khi x tiến ra vô cùng hay giới hạn vô cùng và có các khái niệm tương ứng cho các ký hiệu sau lim f x L lim f x TO lim f x TO. x -tt x -a x -tt Bài tập hãy nêu các định nghĩa sao cho phù hợp với các khái niệm tương ứng của hàm một biến. Có bao nhiêu điểm vô cùng trong R Hiểu thế nào là hình cầu hay lân cận của điểm vô cùng 1.5 Ký hiệu o và o. Cho a e R hay a TO. Ký hiệu Fa R R là không gian các hàm từ lân cận của a trong R vào R . Để so sánh các hàm trong lân cận a người ta thường dùng các ký hiệu sau. Cho f b e .