tailieunhanh - Giáo trình giải tích 2 part 8

Công thức đổi biến nêu mối quan hệ của sự thay đổi thể tích của một hình A khi qua phép biến hình g (phép đổi biến). Về mặt địa phương độï co dãn hình chính là định thức của đạo hàm Dg . Cụ thể, ta có: g : U −→ Rn thuộc lớp C 1 trên tập mở U ⊂ Rn . Giả sử A là tập đo được có bao đóng A ⊂ U , sao cho g là 1-1 và det Dg = 0 trên A. Khi đó nếu f : g(A) −→ R khả tích, thì. | 68 Công thức đổi biến nêu mối quan hệ của sự thay đổi thể tích của một hình A khi qua phép biến hình g phép đổi biến về mặt địa phương độ co dãn hình chính là định thức của đạo hàm Dg. Cụ thể ta có Công thức đểi biến. Cho g U R thuộc lớp CỴ trên tập mở U c R . Giả sử A là tập đo được có bao đóng A c U sao cho g là 1-1 và det Dg 0 trên A. Khi đó nếu f g A R khả tích thì f o g det Dg khả tích trên A và Ị f JA f o g det Dg . Chứng minh Vì g E C1 nên thoả điều kiện Lipschitz trên A. Vậy g A đo được xem . Ngoài ra theo định lý Lebesgue f o g det Dg khả tích trên A. Để chứng minh công thức ta dựa vào bổ đề khai triển Bước 1 Bổ đề khai triển Nếu g E C1 và det Dg a 0 thì tồn tại lân cận hộp Ua của a sao cho trên đó g o T o---o 1 o T1 trong đó Ti x a ơi x a ơi là phép hoán vị toạ độ còn i x1 X xi ội x X i 1 n . Thực vậy do det Dg a 0 nên tồn tại í - a 0. . . . x . Gọi B x a ơ x à với ơ là hoán vị n với i. Đặt h g o B. Khí đó 1 a a a 0. y dxn dxị XX _ . _ dhn X _ _ Đặt x x1 xn-1 h x . Ta có G C1 và det D a - a 0. Theo dxn định lý ánh xạ ngược tồn tại lân cận U của a trên đó có ánh xạ ngược -1 G C1. Ta có g h o B-1 G o o T với T B-1 a ơ-1 x a G x h1 x h -1 x xn . Tiếp tục lập luận tương tự cho G ta có biểu diễn cần tìm. Bước 2 Công thức đúng cho g x T x a ơ x a ơ là hoán vị. Để chứng minh chỉ cần áp dụng công thức Fubini với chú ý là det T 1. Bước 3 Công thức đúng trên Ua cho g x i x x1 ội x x . Ta chứng minh trường hợp i n trường hợp khác hoàn toàn tương tự. Giả sử Ua S X S là hộp trong R -1. Khi đó U S X Ộ U vầ det D . m dx Theo công thức Fubini L- f X L- x- f xn dxỉ ix -1. ị Ị f x1 x d- dxn dx1 dxn-1 công thức đổi biến 1 biến I f o det D . Ju Bước 4 Nếu công thức đúng cho T và thì cũng đúng cho o T. Các công thức tính tích phân. 69 Thực vậy Ị f Ị f o í det Dí I y f o í o Tl det Dí o Tll det DTl I f o í o T l det D í o T l- c J Kết thúc chứng minh công thức Do A compact nên A chứa trong hình hộp nào đó. Tồn tại phân hoạch P hộp đó sao cho với mọi S G