tailieunhanh - Giáo trình giải tích 2 part 3

Hình cầu. Cho a ∈ Rn và r 0. Hình cầu mở tâm a bán kính r, định nghĩa: B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) | 18 Ví dụ. Từ các ví dụ trên và tính hội tụ điểm ta có các giá trị tổng sin kx k l cos kx k i sin kx k i k i coskx k2 7T X 2 3x2 Gtĩx 2tf62 12 X 2 7T2 3o 2 12 với 0 X 21Ĩ với 0 X 2tf với a 7T với a 7T Từ các công thức trên suy ra sin 2fc l a 2fc l cos 2fc l a k 2 i 2 sin2fcx cos 2kx 2fc 2 k l Tĩ 4 7T2 2tĩX 8 7T 2x 4 2 6ĩtx Tĩ2 24 với 0 í X í Tĩ với 0 z X í 2tĩ với 0 í X í Tĩ với 0 í X í 2tĩ Với các gía trị X cụ thể các công thức trên suy ra VÃ _ É. 2 6 k l -l fc 1 7T2 k k2 - 12 k l -1 V j2 l 4 II. Không gian R 1. KHÔNG GIAN EUCLID R Không gian vector R . Trong R x xi xn xi E R i 1 n có trang bị 2 phép toán X y xi xn yi yn xi yi X y ax a xi x axi axn a E R. Với 2 phép toán trên R là không gian vector n-chiều trên R. Ta thường dùng cơ sở chính tắc ei 1 0 0 en 0 0 1 . Vậy x xi xn xie . Ta cũng ký hiệu vector không là 0 0 0 . i i Ngoài cấu trúc đại số R còn có cấu trúc hình học xác định bởi tích vô hướng Euclid Tích vô hướng-Chuẩn-Metric. Cho x x i xn y yi yn e R . Tích vô hướng x y xiyi -------- xnyn. Chuẩn x yft x x xị x 2. Metric d x y x - y xi - yi 2 ------- xn - y. 2 2. Sau đây là các tính chất cơ bản của các ánh xạ trên Tính chất. Cho x y z G R và a ft G R. Tính chất của tích vô hướng 51 ax fty z a x y ft x z . 52 x y y x . 53 x x 0 và x x 0 khi và chỉ khi x 0. Tính chất của chuẩn N1 x 0 và x 0 khi và chỉ khi x 0. N2 iiax a x . N3 J x y x y . Tính chất của metric M1 d x y 0 và d x y 0 khỉ và chỉ khỉ x y. M 2 d x y d y x . M 3 d x y d x z d z y . Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức tam giác N3 . Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz I x y I x y . Thực vậy tam thức bậc 2 tx y 2 x 2t2 2 x y t y 2 0 Vt E R. Suy ra A x y 2 x 2 y 2 0 . bất đẳng thức trên đúng. 20 Vậy x y 2 x 2 y 2 2 x y x 2 y 2 2 x y x y 2 ta có bất đẳng thức N3 . N3 suy ra M3 . Còn các tính chất khác là rô ràng. Bài tập Chứng minh I x y I x y và chỉ khi x y tỉ lệ nhau. Bài tập Hãy chứng minh bất đẳng thức đáng chú ý sau max xi x y n max xi . 1 i n 1 i n Tính đủ của Rn.