Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Bài Giảng Giải tích II: Phần 2 - Bùi Xuân Diệu

(NB) Phần 2 cuốn "Bài Giảng Giải tích II" gồm nội dung chương 3, 4, 5, 6. Chương 3 trình bày về Tích phân phụ thuộc tham số. Chương 4 trình bày các vấn đề về Tích phân đường. Chương 5 giới thiệu về Tích phân mặt. Chương 6 giới thiệu về Lý thuyết trường. Mời bạn đọc tham khảo. | CHƯƠNG Tích phân phụ thuộc tham số. 1. tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1.1 Giới thiệu b Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số I y ị f x y dx trong đó f x y khả a tích theo x trên a b với mỗi y G c d . Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của hàm số I y như tính liên tục khả vi khả tích. 1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1 Tính liên tục. Định lý 3.7. Nếu f x y là hàm số liên tục trên a b X c d thỉ I ỳ là hàm số liên tục trên c d . Tức là Irn 1 ỳ 1 ỳ0 y - I b lim f x y dx ỳ-ỳ.Ị a 2 b Ị f x ỳ0 dx a 2 Tính khả vi. Định lý 3.8. Giả sử với mỗi y G c d f x y là hàm số liên tục theo x trên a b và fy x y là hàm số liên tục trên a b X c d thỉ I y là hàm số khả vi trên c d và 63 64 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. 11 y Ị fy x y dx a tích phân. hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong 3 Tính khả tích. Định lý 3.9. Nếu f x y là hàm số liên tục trên a b X c d thì I y là hàm số khả tích trên c d và Ị1 y dy Ị f x y dx I dy Ị IỊ f x y dy I dx c c a Ị a c Ị Bài tập Bài tập 3.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I y y2 x 2 dx với f x là hàm số . r . . I x2 y2 J 0 dương liên tục trên 0 1 . Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g x y y y liên tục trên mỗi hình chữ nhật 0 1 X c d và 0 1 X d c với 0 c d bất kì nên theo Định lý 3.7 I y liên tục trên mỗi c d d c hay nói cách khác I y liên tục với mọi y 0. Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I y tại điểm y 0 .Do f x là hàm số dương liên tục trên 0 1 nên tồn tại m 0 sao cho f x m 0 Vx G 0 1 . Khi đó với 0 thì Tĩ _ 1 f x . 1 .m ____ x I J x. dx Ị x 2dx m-arctg 00 I f x dx f mdx m arcteĩ. I J x2 2 dx x2 2dx m-arctg 00 Suy ra 11 è I 2m.arctgx 2m.n khi 0 tức là 11 è I không tiến tới 0 khi 0 I y gián đoạn tại y 0 . Bài tập 3.2. Tính các tích phân sau a In a Ị xa lnn xdx n là số nguyên dương. 0 Lời giải. - Với mỗi a 0 hàm số fn x a xa lnn x n 0 1 2 . liên tục theo x trên 0 1 64 1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 65 - Vì lim xa lnn 1 x 0 nên ndX a xa lnn 1 x liên .