tailieunhanh - Giải bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản: Chương 3 - Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Tài liệu tham khảo giải bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản: Chương 3 - Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân có bài giải kèm theo giúp học sinh ôn tập kiến thức, rèn luyện kỹ năng làm bài tập, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 11 khi học đến chương này nhé. | Chương III DÂY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP số NHÂN Bài 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đề chứa biến số tự nhiên gồm các bước sau Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n n0 thông thường n0 1 hoặc n0 0 . Bước 2 Giả thiết rằng mệnh đề đúng với số tự nhiên n k k e N k no chứng minh rằng mệnh đề đúng với n k 1. Kết luận mệnh đề đúng với mọi n e N n n0. B. GIẢI BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng với n e N ta có các đẳng thức n 3n l a. 2 5 8 .- 3n-l -2 1 2 .1 2n-1 b. _ _ . 2 2 4 8 2 2 . 1 n n l 2n l c. I2 22 32 .n2 --21-L 3 or 6 Or Giải a. Với n 1 ta có VT 3 - 1 2 vp ii 2 2 Vậy VT VP 1 đúng với n 1 Giả thiết 1 đúng với n k 1 nghĩa là k 3k l x 2 5 8 . 3k-l v la 2 Ta chứng minh la đúng với n k 1 nghĩa là chứng minh k l 3 k l ll k l 3k 4 2 5 8 . 3k-l 3 k l -l --1 ---L la 2 5 8 . 3k-l 3 k l -l - 3 k l -l 3k2 7k 4 k l 3k 4 2 2 1 đúng với n k 1 vậy la đúng với n G N GIẢI IỈT s - GT 11 CB . 55 Ỉ 4-1 1 2 4 8 1 _2n-l 2n 22 Với n 1 thì VP 1 VT VP Vậy 2 đúng với n 1 Giả sử đẳng thức đúng với n k tức là 1 1 1. .1 2k 1 77 - 2 4 8 2k 2k 111 1 1 Khi đó ta có 1 4 1 . It tIt 2 4 8 2k 2k 2k 1 1 2k 2k 1 2 đúng với n k 1. Vậy nó đúng với mọi n e N Khi n 1 vế trái bằng 1 1 1 1 2 1 . VP Í2A-----L 1 VT VP 6 Vậy 3 đúng với n 1 Giả sử đẳng thức 3 đúng với n k nghĩa là Ta phải chứng minh 3a đúng khi n k 1 Ta cộng 2 vế của 3 cho k l 2 l2 22 k2 k 1 2 k k 1M2kt1 . k 1 2 illl k 2k l 6 k l Jjệĩ 2k2 7k 6 kH 2k 3 k l k l l 2 k l l 6 Vậy đẳng thức đúng với n k 1. Do đó đẳng thức đúng với mọi n e N 56 2. Chứng minh rằng với n G N . a. n3 3n2 5n chia hết cho 3 b. 4n 15n -1 chia hết cho 9 c. n3 lln chia hết cho 6. Giải a. Đặt An n3 3n2 5n Ta có với n 1 Ai 14-3 5 9 3 Giả sử với n k 1 ta có Ak k3 3k2 5k 3 giả thiết quy nạp Ta chứng minh Ak 1 3 Thật vậy ta có A k 1 k l 3 3 k l 2 5 k l k3 3k2 3k l 3k2 6k 3 5k 5 k3 3k2 5k 3k2 9k 9 Theo giả thiết quy nạp Ak 3 hơn nữa 9 k 1 3 nên An n3 3n2 5n chia hết cho 3 với mọi n G N b. 4n 15n - 1 chia .