tailieunhanh - Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn giáo trình "Phương trình đạo hàm riêng", phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Phương trình loại hypecbôn, bài toán Côsi, bài toán hỗn hợp, phương trình truyền nhiệt, hàm đặc biệt. nội dung chi tiết. | Chương 6 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPECBÒN BÀI TOÁN CÒSI Trong ba chương trước ta xét phương trình Laplat là một phương trình mẫu của các phương trình loại ellip. Trong chương này và chương sau ta nghiên cứu phương trình truyền sóng là một phương trình mẫu cùa các phương trình loại hypecbòn. Phương trình truyền sóng trong mòi trường thuần nhất trong không gian n chiều có dạng Ỡ2U 2 dt2 a Về ý nghĩa vật lý t là biến thời gian xi xn là biến không gian a là vận tốc truyền sóng và là một hằng số. Nếu xi --- xn f 0 thì phương trình nói trên được gọi là phương trình thuần nhất. Để đơn giản sau đây ta chỉ xét trường hợp không gian ba chiều hoặc ít hơn. . Bài toán Côsi của phương trình truyền sóng và định lý duy nhất của nó Ta xét bài toán Còsi của phương trình truyền sóng cụ thể là bài toán d2u 2 d2u I dt2 a dx2 dy2 u x y to p x y x y to ỉ z y - z y t 239 Như vậy mặt mang dử kiện Côsi xem tiết đối với bài toán này là mặt phằng t to- Nó không phải là mặt đặc trưng của phương trình này. Họ các mặt đặc trưng của phương trình này là họ các mặt nón tròn xoay có trục song song với trục Ot và có phương trình xem tiết x - Cj 2 y- c2 2 - ữ2 t - C3 2 0 trong đó ci c2 C3 là toạ độ của đỉnh hình nón và có thể là điểm bất kỳ trong không gian x 2 t . Giả sử trên mặt phằng t to của không gian x 2 í cho mặt tròn G x - d 2 y - c2 2 R2 Tồn tại hai hình nón tròn xoay đối xứng với nhau qua mặt phằng t to có đáy là mặt tròn G và mỗi mặt bên s là phần của một mặt đặc trưng trong họ . Ta gọi K là một trong hai hình nón kể trên chằng hạn hình nón có đỉnh hướng theo chiều dương của t. Ta chứng minh định lý duy nhất sau Định lý . Giả sú u x y t là nghiêm của bài toán Côsỉ sao cho nó và tất cả các đạo hàm riêng của nó kề cho tới cấp hai liên tục trong hình nón kín K u G u s. Khi đó nghiệm u x y t được xác định một cách duy nhất trong hình nón kín KuGuS kể trên bởi các dữ kiện Cô si cho trên mặt đáy G của hình nón. Trước khi chứng