tailieunhanh - Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Phương pháp chung ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, dùng công thức Duhamel,. là những nội dung chính trong tài liệu "Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng". để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu. | t t f t J 2 sin t T dT J sin t - 3ĩ dĩ 0 0 . _A t . cos t - 3t t______ 1 _ 1 - cos t t L ------A-------- cost - cos2t - cos2t - - cost 10 3 0 3 3 22 cost - cos2t 33 19. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 1. Phương pháp chung Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng d x dn-1x________ a dt a1dF anx f t 1 thoả mãn các điều kiện ban đầu x 0 Xo x 0 X1 . x n-1 0 Xn-1 2 với giả thiết ao 0 hàm f t nghiệm x t cùng các đạo hàm tới cấp n của nó đều là các hàm gốc. Để tìm nghiệm của bài toán trên ta làm như sau b Trước hết ta lập phương trình ảnh của 1 bằng cách gọi X p là ảnh của x t F p là ảnh của f t . Theo công thức đạo hàm gốc ta có x t pX p - xo x t p2X p - pxo - x1 x n t pnX p - pn-1xo-xn-1 Lấy ảnh hai vế của 1 ta có phương trình đối với ảnh X p aopn a1pn-1 an X p F p xo aopn-1 a1pn-2 an-1 x1 aopn-1 a1pn-2 an-1 xn-1ao A p .X p F p B p Trong đó A p và B p là các đa thức đã biết. Giải 3 ta có X p A B A p b Sau đó tìm gốc của X p ta được nghiệm của phương trình Ví dụ 1 Tìm nghiệm của phương trình x - 2x 2x 2elcost thoả mãn điều kiện đầu x 0 x 0 0 Đặt x t o- X p thì x t o- pX p và x t o- p2X p . 3 4 . . . . 2 p-1 2 p-1 . . . . Mặt khác 2el cost ._ . . Thay vào phương trình ta có p -1 2 1 p2 - 2p 2 119 p2X - 2pX 2X -2 p - 1 p2 - 2p 2 hay p2 - 2p 2 X 2 p -1 p2 - 2p 2 Giải ra ta được x 2 p -1 X -- _ p2 - 2p 2 2 Dùng phép biến đổi ngược ta có x t tetsint Ví dụ 2 Tìm nghiệm của phương trình x - x 4sint 5cos3t thoả mãn các điều kiện ban đầu x 0 -1 x 0 -2 Đặt x t o- X p thì x t o- p2X p 2. Mặt khác 5cos2t e 2p 4 và 4 4 sint o- -. Thay vào phương trình trên ta được p2 p 1 p2X p p p 2 - X - p- -p2 p 1 p2 p 4 nên 4 5p pp 2 X ----------------I---------------------- p2 p 1 p2 -1 p2 p 4 p2 -1 p2 -1 _ 2 2 p p p p 2 p2 1- 771p pùr - t .t - p 1 2p - - p2 p 1 p2 p 4 Dùng phép biến đổi ngược ta được x t -2sint - cos2t Ví dụ 3 Tìm nghiệm của phương trình x 4x 4x t3e-2t thoả mãn các điều kiện ban đau x 0 1 x 0 2.

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.