tailieunhanh - Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 trình bày phương pháp giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng. Nội dung chương này bao gồm: Ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bản, phương trình Elliptic, bài toán Laplace, phương trình Parabolic, bài toán truyền nhiệt, sơ đồ hiện – ẩn. | BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006) NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN 2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE 3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương trình elliptic (tĩnh – static): Phương trình parabolic (truyền nhiệt): Xấp xỉ đạo hàm riêng: Phương trình hyperbolic (truyền sóng): BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Toán tử Laplace: Ptrình Poisson (f 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet Giải bằng sai phân hữu hạn: Chia nhỏ . Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u tại các điểm chia MINH HỌA Ý TƯỞNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài toán sau: tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều x = y = 1 GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân hoạch : Chia nhỏ bởi các đường thẳng // Ox, Oy x = y = h: Tạo lưới bước chia cách đều h. Ký hiệu: P1, P2, P3, P4 4 điểm kề P Công thức xấp xỉ Laplacian u (công thức đạo hàm hướng tâm!) Lần lượt thay Pk(x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trị u trên biên) Hệ phương trình ẩn uk= u(Pk) VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải bài toán bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy Lưới 4 nút ẩn 4 giá trị cần tìm. Đánh số, tính giá trị biên: Nút 1: Nút 2: Nút 3: Nút 4: KẾT QUẢ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ phương trình Au = b với Chú ý: Phương trình Poisson u = f(x, y) ( Laplace: u = 0) PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu) Phân hoạch : Lưới theo x độ dài x, theo t độ dài t Các đường thẳng x = i x, t = k t Miền = (x,t) 0 x 1 , t 0 Xấp xỉ u/ t, u/ x & ĐK biên, đầu Giá trị u tại điểm chia MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = , x = bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0 Tiến: MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t = , x = bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1 Lùi: