tailieunhanh - Bài giảng Giải tích 1: Phần 2

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn "Bài giảng Giải tích 1", phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức cơ bản và bài tập về phép tính tích phân một biến số và hàm số nhiều biến số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. | CHƯƠNG Phép tính tích phân một biến số 1. tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số Chương này trình bày về phép tính tích phân đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm vi phân của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f x thì có tồn tại hay không một hàm số F x có đạo hàm bằng f x Nếu tồn tại hãy tìm tất cả các hàm số F x như vậy. Định nghĩa . Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên một tập D nếu F x f x Vx G D haydF x f x dx. Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý . Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng D thì Hàm sốF x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x với C là một hằng số bất kỳ. Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f x đều viết được dưới dạngF x C trong đó C là một hằng số. Như vậy biểu thức F x C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f x mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm. 37 38 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Định nghĩa . Tích phân bất định của một hàm số f x là họ các nguyên hàm F x C với x G D trong đó C là một nguyên hàm của hàm số f x và C là một hằng số bất kỳ Tích phân bất định củaf x dx đượckýhiệulà Ị f x dx. Biểu thứcf x dx đượcgọilà biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f x đượcgọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy Ị f x dx F x C với F x là nguyên hàm của f x . Các tính chất của tích phân bất định Ị f x dx f x hay d ị f x dx f x dx Ị F x dx F x C hay Ị dF x F x C Ị af x dx a f x dx a là hằng số khác 0 Ị f x g x dx Ị f x dx Ịg x dx Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định ta có thể viết chung Ị af x fig x dx a Ị f x dx p Ịg x dx trong đó a Ị3 là các hằng số không đồng thời bằng 0. Các công thức tích phân dạng đơn giản ra 1 ẫ ĩ C a -1 cos x C dx2 J sin2 x r ax axdx d------ C a 0 a 1 .1 In a cotgx C x a2 dx x2 dx 1ln 2a a x .x2 a In dx r ln lxl C x Ị cos xdx sin x C 1 dx tgx C J cos2 x J exdx ex C .