tailieunhanh - Giáo trình Không gian Metric: Phần 2 - TS. Nguyễn Hoàng

Tham khảo phần 2 của cuốn giáo trình Không gian Metric có nội dung giới thiệu về không gian Metric đầy đủ, không gian compact, không gian liên thông. Bên cạnh lý thuyết, phần 2 còn có bài tập bổ sung giúp người học củng cố kiến thức một cách có hệ thống. | 4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ Dãy xn n trong không gian metric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu lim d xn xm 0. Nói cách khác m n -Xi xn là dãy cơ bản Vs 0 n v m n n0 d xn xm p s Ta có các tính chất đơn giản sau a Nếu xn là dãy hội tụ thì xn là dãy cơ bản trong X. b Nếu dãy cơ bản xn có một dãy con x c xn sao cho x hội tụ đến x0 thì xn x0 . Định nghĩa. Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X. Như thế nếu biết X là không gian đầy đủ để chứng minh một dãy hội tụ mà không quan tâm đến giới hạn ta chỉ cần kiểm tra dãy này là dãy cơ bản. . Ví dụ 1. Không gian iR với mêtric thông thường là không gian đầy đủ. Thật vậy cho xn n dR cơ bản với xn xl . xkn . Khi đó ta có x - x m Ệl xlm - x n 2 1 2 d xnxm 0 m n 0 m n nên xm m là dãy cơ bản trong R do đó xlm x0 với mọi i 1 2 . k. Nhưng từ ví dụ a . ta có dãy xn hội tụ đến x0 x0 . x0k e R tức là iR đầy đủ. 2. Lấy X 0 1 là tập con của Rvới mêtric d x y x - y I Đây là không gian mêtric không đầy đủ. Thật vậy lấy dãy xn trong X .Ta có xn - xm 1 I - 0 m n 1 n m n m nên nó là dãy cơ bản nhưng không hội tụ về điểm nào trong X nếu xét trong Rthì xn 0 n 3. Không gian C ab là không gian đầy đủ Chứng minh. Cho xn là dãy cơ bản trong C a b . Điều này có nghĩa là d xn xm max xn t - xm t 0 m n te a b 38 Với mỗi t e a b hiển nhiên ta có xn t - xm t d xn xm suy ra xn t n là dãy số thực cơ bản trong IR nên hội tụ. Đặt x t lim xn t với mọi te a b . Ta n còn phải chứng minh x t thuộc C a b và xn - x trong C a b . Lấy 8 0 sẽ tồn tại n0 sao cho với mọi m n n0 và với mọi t e a b ta có Xn t - Xm t 8L 1 Cho m OT ở 1 ta được xn t - xn t 8 khi n n0 và với mọi t e a b . Vậy xn t hội tụ đều đến x t trên a b liên tục trên a b tức là x t e C a b đồng thời xn x. Do đó C a b là không gian đầy đủ. 4. Không gian C a b không đầy đủ Chứng minh. Ta xét trường hợp a b 0 1 và xét dãy xn t như sau hình 5 1 khi t e 4 xn t 0 khi Ị- -ỉ- t 1 2 2n 11. 1 n 1 - 2nt khi t 2 2 2n Với m

TÀI LIỆU LIÊN QUAN
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
crossorigin="anonymous">
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.