tailieunhanh - Ebook Đại số và Hình học giải tích: Phần 2

Phần 2 cuốn sách "Đại số và Hình học giải tích" gồm nội dung chương 5 và chương 6, trình bày ánh xạ tuyến tính và dạng toàn phương; hình học giải tích. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết. | Chương V ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH VÀ OẠNG TOÀN PHƯƠNG . ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH . Định nghĩa Giá sử V V là các K-không gian véc tơ. ánh xạ 1 V được gọi là ánh xạ tuyến tính hay K-dồng cấu của khônị véctơ V vào không gian véctơ V nêu các điểu kiện sau dâ thoả mãn đối với mọi véctơ X y thuộc V và mọi sô a e K a f x y f x f y b f a x af x . Từ điêu kiện b ta có í 9 f 00 0f 0 0. Vậy các ánh xạ tuyên tính chuyên véctơ không thành không. Kết hợp các điều kiện a và b ta có f ctx py cd x pf y . V X y e V. cx p e K. Một cách tông quát bàng quy nạp ta có . . V 4 gian được véc tơ Đôi vói mọi Xj 6 V Cíj e K i 1 . m. anh xạ tính f là một đơn ánh thì gọi là đơn c ĩ 7 4 âu Nêu ánh xạ tuyên tính í là một toàn ánh thì gọi là toàn câu. Một ánh xạ tuyến tính vừa là đơn cấu vừa là toàn cáu thì gọi lã tăng cáu. Khi có một lang càu f V - V thi ta nóihai không gian véctơ V và V clang cấu VÓI nhau va kí hiệu V V Hệ thức chững tỏ ánh xạ tuyên tính chuyểnmột hệ véc tơ phụ thuộc tuyên tính thành hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Mệnh để . Tích các ánh xạ tuyên tính là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh ĩià sử V E vã F là các K-không gian véc tơ f V E g E - F ỉa các ánh xạ tuyên tính. Ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ tích g f V - F là một ánh xạ tuyên tính. Theo định nghĩa ánh xạ tích thì gj x - g f x với mọi x e V. Do đó đôi với mọi X y e V mọi a c K ta có gof x y g f x y g f x f y . g f x g f y g f x gof y . g f ccx g f ocx g ưf x ccg f x . cc g f x . Vậy các điểu kiện được thỏa mãn gof là một ánh xạ tuyên tính. Vì tích các song ánh là một song ánh do đó tích các đẳng câu là một đang cấu. Vậy ta có nêu V aV và V V thì V -V . Định lý sau đây chỉ ra rằng một ánh xạ tuyên tính hoàn toàn xác định nêu biết giá trị cưa nó tại các véctơ thuộc một cơ sớ. 175 Định ỉý . Giả sử V V là các K-không gian véc lơ hệ U . unỉ là một cơ sờ cua không gian V và hệ jv- . vnỉ là n véctơ bất kỳ cùa không gian V . Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tu vốn tính V - V sao cho f Uj V .