tailieunhanh - Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 2

Phần 2 Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân gồm nội dung chương 5 đến chương 8, bao gồm: Chương 5 - Tích phân Lebesgue trừu tượng. Hàm khả tích; chương 6 - Các không gian Lebesgue L p và Lp (1 ≤ p ≤ ∞); chương 7 - Các dạng hội tụ; chương 8 - Độ đo tích, độ đo ảnh, độ đo cảm sinh. | Chương 5 Tích phân Lebesgue trừu tượng. Hàm khả tích Bây giờ ta xét trường hợp các hàm f đinh nghĩa trên E nhận giá tri trong R R hoặc C. Định nghĩa và tính chất Định nghĩa Hàm f đo được từ E B ụ vào R Br gọi là ụ khả tích nếu Ị f dụ 1 và Ị f dụ 1. E Ta đặt L f Ịf dụ Ịf dụ-Ịf dụ Ịf dụ-Ịf dụ Điều này mở rộng trường hợp một hàm f 0 f_ 0 . L f gọi là tích phân Lebesgue trừu tượng của f trên E. Ta chỉ cần xét trường hợp E vì trên A 2 B hệ thức Ị f dụ Ị f U dụ đã thiết lập cho trường hợp hàm dương được suy rộng cho trường hợp tổng quát này . Ví dụ Ta lấy lại các ví dụ đã nêu ở chương 4. Định nghĩa vầ tính chất 60 Độ đo Dirac ỗa khối lượng tại một điểm a. Với mọi A ta có x r 1 nếu a 2 A 1a dôa 1A a ỏa A X J 0 nếu a 2 A E k Mặt khác giả sử f 0. f I f a thỏa mãn điều kiện i và ii của đinh lý tồn tại đẳng thức trên chứng tỏ nó cũng thỏa mãn cả iii do đó Ị f dda f a E Vậy f là ỏa khả tích khi và chỉ khi f a 1. f 0 . Với f bất kỳ f là ỏa khả tích khi và chỉ khi If a 1. Độ đo rời rạc ụ hình thành bởi khối lượng an đặt ở điểm xn với cùng phương pháp ta có kết quả f dụ X an f xn Như vậy f là ụ khả tích khi và chỉ khi 52an If xn I 1 tức là họ này khả tổng. Trường hợp riêng Ị f dụd X f n . f là ụ khả tích khi và chỉkhi chuỗi f n g hội tụ tuyệt đối. Độ đo Borel và Lebesgue trẽn R Đối với các độ đo này ta sẽ thấy sau này một lớp quan trọng các hàm mà tích phân đinh nghĩa ở đây chính là tích phân Riemann. Tương tự đối với độ đo Borel-Stiltjes trên R với tích phân Riemann -Stieltjes. Hệ quả Suy từ các tính chất của f và f_ 1. Nếu f là một hàm giá tri thực chứ không dương thì ánh xạ V A I v A j f dụ A không còn là một độ đo dương nữa mà có dấu . Nhưng nó vẫn luôn là một hàm tập ơ cộng tính tức là f dụ X Z f dụ Ai n Aj i j- OO. i i A 1 Ai Ai 2. Mọi hàm f ụ khả tích là hữu hạn ụ hkn. 3. Nếu f gụ hkn và nếu f là ụ khả tích thì gụ khả tích và ta có L f L g . Định nghĩa vầ tính chất 61 Định lý . i Không gian của các hàm thực ụ khả tích là một Rkhông gian