tailieunhanh - Chương 2: Tích phân lebesgue

Nội dung tài liệu trình bày định nghĩa tích phân Lebesgue, các tính chất sơ cấp của tích phân, chuyển giới hạn qua dấu tích phân và các bài tập áp dụng. | Produced with a Trial Version of PDF Annotator - CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE . Định nghĩa tích phân Lebesgue . Tích phân cho hàm đơn giản không âm Cho không gian độ đo X F ự . Giả sử f là hàm đơn gian không âm xác định trên A. Khi đó f y ctxA với At e F A. n A. 0 i j A ủ A. và c là các số thực i 1 i 1 không âm. Tổng y c ụAt được gọi là tích phân của f trên A theo độ đo n là. i 1 Kí hiệu J fdi hoặc Jf . Như vậy J fdi y cfiA Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm đặc trưng. Thật vậy giả sử f y với j Bj j 1 k A ủB . Bi A Bj 0 i j j 1 k Ta có Ai Ai nA Ai n ủ Bj j 1 k ủ Ai n Bj . Do các tập A. n B rời nhau đôi một nên j 1 3 n n k n k _ y ciAAi y ci y A Ai n Bj y y w Ai n Bj i 1 i 1 j 1 i 1 j 1 Tương tự ta có k k n y djA B yy j Ai n Bj j 1 j 1 i 1 nk Nếu A n B. 0 thì ta có y c Ị1Ạ y B. i j i i j j i 1 j 1 Nếu Ai n B3 0 thì f x c trên A và f x d trên B . Suy ra c dẨ trên A n B . i 2 j j i j i j nk Vậy y c. Ị1A y dll B. ii jj i 1 j 1 Trang 33 Produced with a Trial Version of PDF Annotator - . Tích phân cho hàm không âm đo được Cho f là hàm đo được không âm trên A. Theo định lí về cấu trúc hàm đo được tồn tại dãy những hàm đơn giản fn sao cho 0 fn fn 1 và lim fn f trên A. Ta định nghĩa tích phân của hàm f đo được không âm trên A là lim í f dụ. n - n A Kí hiệu là í fdụ và do đó í fdụ lim í fndụ A A n A Ta phải chứng minh giới hạn lim í f dd tồn tại và được xác định một cách duy nhất n - n A không phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm fn . Khẳng định này dựa vào 2 bổ đề sau Bổ đề 1 Cho f g là hai hàm đơn giản trên A và 0 f g. Khi đó í fdd í gdụ. AA Bổ đề 2 Giả sử fn gn là hai dãy hàm đơn sao cho 0 fn fn 1 0 gn gn 1 và lim f f lim gn f . Khi đó lim í fdd lim í gdụ n - n n - n n - n n - n AA . Tích phân cho hàm đo được bất kì Cho f là hàm đo được bất kì trên A. Ta có sự phân tích f f - f với f max f 0 f - min f 0 Nếu hiệu số í f dụ - í f dụ có .