tailieunhanh - Ebook Measure and Integration: Concepts, Examples and Exercises (Part 2)

Ebook Measure and Integration: Concepts, Examples and Exercises (Part 2) included: Chapter 5 Measure and integration on product spaces, chapter 6 Lp-spaces. | Chapter 5 Measure and integration on product spaces . Introduction Concepts and examples The intuitive notion of length originally defined for intervals in R leads one to the class of Lebesgue measurable sets which included not only the intervals and all the topologically nice subsets of R but also BR - the ơ-algebra of Borel subsets of R. In a similar manner one would like to extend the notion of area in R2 volume in R3 and so on to a larger class of subsets which includes BR2 BR3 - the ơ-algebra generated by open subsets of R2 R3 . In the abstract setting given measure spaces X A p and Y B V one would like to define a measure n on the ơ-algebra generated by sets of the form A X B A G A B G B in the natural way n A X B p A v B . We call this natural for when X Y R A B BR and p V A the Lebesgue measure then for intervals I and J n I X J A I A J is the area of the rectangle with sides the intervals I and J. Thus n will automatically be an extension of the notion of area in R2. We note that the collection R A X B A G A B G B is only a semi-algebra of subsets of A X B in general. Let A B denote the ơ-algebra of subsets of X X Y generated by R. 63 64 5. Measure and integration on product spaces . Definition Let X A and Y B be measurable spaces. A subset E c X xY is called a measurable rectangle if E AxB for some A E A and B E B. We denote by R the class of all measurable rectangles. The ơ-algebra of subsets of X xY generated by the semi-algebra R is called the product ơ-algebra and is denoted by AaB. . Proposition Let pX X x Y X and pY X x Y Y be defined by Px x y x and Py x y y V x E X y E Y. Then the following hold i The maps pX and pY are measurable . V A E A B E B we have PX1 A E AaB and p 1 B E A A B. ii The ơ-algebra AaB is the smallest ơ-algebra of subsets of X x Y such that i holds. . Proposition Let X and Y be nonempty sets and let C D be families of subsets of X and Y respectively. Let C x D C x D C E C D E D . Then the following hold i S

• Toán học
• Độ đo Lebesgue
• Lý thuyết độ đo
• Measure and integration
• Lebesgue Measure on R
• Bounded Functions
• Integration on product spaces
• Tích phân Lebesgue
• Tích phân Lebesgue trừu tượng
• Hàm khả tích
• Không gian Lebesgue
• Độ đo tích
• Nonnegative Functions
• Product Measure Space
• Construction of measures
• Đại số tập hợp
• Thác triển độ đo
• Tích độ đo
• Tích phân lặp
• Bài tập tích phân
• luận văn tốt nghiệp
• luận văn tóan học
• định nghĩa độ do
• định nghĩa tích phân
• độ đo đủ
• phân tích lebesgue
• tính cộng tính
• Principles of Real Analysis
• Lý thuyết Lebesgue
• Không gian metric
• Không gian tô pô
• Problems in Real Analysis
• Lý thuyết tích phân
• Tích phân
• Giới hạn dưới dấu tích phân
• Tính chất sơ cấp tích phân Lebesgue
• Độ đo dương
• Không gian đo được
• Hàm số đo được
• Định lý Radon
• Định lý Nikodym
• Khái niệm tập hợp
• Độ đo ngoài
• Hàm đo được
• Không gian tôpô
• Giải tích III
• đại số tuyến tính
• độ đo
• hàm số liên tục
• bồ đề thi cao học
• giải tích cổ điển
• ánh xạ
• Đề thi kết thúc học phần
• Đề thi kết thúc môn học
• Đề thi môn Độ đo Tích phân
• Độ đo Tích phân
• Khả tích lebesgue
• Toán giải tích