tailieunhanh - Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa - Phạm Văn Quốc

Một số khai triển liên quan đến lũy thừa, định lý Fermat, hàm Euler, cấp order của một số nguyên, bài tập áp dụng liên quan đến lũy thừa là những nội dung chính trong tài liệu "Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa". nội dung tài liệu để có thêm tài liệu học tập và ôn thi. | MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA Phạm Văn Quốc Trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên Trong các kỳ thi học sinh giỏi chúng ta hay gặp các bài toán số học liên quan đến lũy thừa như chứng minh sự chia hết chứng minh sự tồn tại hoặc tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện . Trong những năm gần đây dạng toán này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi quốc gia đề thi chọn đội tuyển thi quốc tế CĐT của các nước các đề dự tuyển và các đề thi Toán quốc tế IMO . Đây là những bài toán hay và tất nhiên không dễ nếu không nắm được một số kỹ thuật cũng như nhận dạng được kiểu bài toán. Các lời giải thường sử dụng công cụ không khó nhưng chứa đựng nhiều sự tinh tế và sự linh hoạt trong vận dụng kiến thức. Bài viết dưới đây đề cập đến một số kiến thức cơ bản và kỹ năng liên quan đến các bài toán dạng này. I. Kiến thức cơ bản Trong phần này là một số kiến thức cơ bản nhưng chúng hay được dùng trong các dạng toán mà ta đang xét công thức lũy thừa số mũ đúng định lý Fermat Định lý Euler cấp của số nguyên và một số tính chất liên quan hay dùng . 1. Một số khai triển liên quan đến lũy thừa Định lý 1. Cho n là số nguyên dương khi đó với x y bất kỳ ta có o xn yn x y xn-1 xn-2y xn-3y2 xyn-2 yn 1 o xn yn x y xn-1 xn-2y xn-3y2 xyn-2 yn-1 nếu n lẻ o x y n xn 01xn-1y cnxn-2y2 C n-1xyn-1 yn. Ta hãy bắt đầu bằng ví dụ sau. Ví dụ 1. Romania 2002 Cho k n là các số nguyên dương với n 2. Chứng minh rằng phương trình xn yn 2k không có nghiệm nguyên dương. Lời giải. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương x y . Nếu gcd x y d 1 d 2k nên d là lũy thừa của 2. Bằng cách chia hai vế cho dn ta có thể giả sử gcd x y 1 và suy ra x y lẻ. 1 Nếu n chẵn n 2m ta có xn yn xm ym xm ym nên xm ym 2a xm ym 2k-a với a là số nguyên dương. Khi đó xm 2 -1 1 2k-2 mà x lẻ nên a 1. Hơn nữa vì m 2 nên xm ym x y xm-1 xm-2y . ym 1 2 mâu thuẫn. Do đó n là số lẻ. Ta có xn yn x y xn-1 xn-2y . yn-1 . Nhưng do x y lẻ nên xn-1 xn-2y yn-1 n 1 mod 2 . Suy ra xn-1 xn-2y ---- yn-1 1 điều này là .