tailieunhanh - Ebook Bài tập đại số tuyến tính với Mathematica (Tập 2): Phần 2

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn sách "Bài tập đại số tuyến tính với Mathematica (Tập 2)", phần 2 giới thiệu các bài tập về dạng toàn phương. Phần cuối sánh là phụ lục giới thiệu phần mềm Mathematica. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên các khối ngành khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. | Chương 7 DẠNG TOÀN PHƯƠNG . Dạng tuyên tính Dạng tuyến tính và không gian đối ngẫu Một ánh xạ tuyến tính từ V vào ÍR được gọi là một dạng tuyến tính trên V. Tập hợp V gồm tẩt cá dạng tuyến tính trên V là một không gian véc tơ và được gọi là không gian đối ngẫu của V. Với mỗi u U . un Rn gọi Lu Rn R là ánh xạ cho bời Lu x uxT với X x I . xn e Rn Suy ra LUG IRn . Gọi T IR Rn là ánh xạ cho bơi T u Lu vớiue Rn Ta có là song ánh và tuyển tính. Do đó Rn có thể được đồng nhất VỚI ÍRn bời Cơ sờ đối ngẫu Cho B V .Vn là một cơ sở cùa V. Gọi ph P2 . Pn là các dạng tuyến tính trên V cho bời K _ I1 khi j ọ. vj Ỗ J r 0 khi i i Suy ra B ọt. P2 . Ọn là một cơ sử của V và B được gọi là cư sờ đối nsẫu VỚI B. Ta có ÍŨẼẼI 86 Chương 7 Dạng toàn phương i Với mọi ye V V ợ vi Pj . vfl q n ii Với mọi ue V u ipi u V P2 u v2 . 4- q n u vn. Định lý Cho B và c là hai cơ sờ cùa V. Gọi B là cơ sờ của V đối ngẫu với B và c là cơ sờ của V đôi ngẫu với c. Gọi p là ma trận đôi cơ sờ từ B sang c. Ta có P- T là ma trận đồi cơ sở từ B sang c . Không gian lường đối ngẫu Tập hợp V gồm tất cà dạng tuyến tính trên V là một không gian véc tơ và được gọi là không gian lưỡng đối ngầu cùa V. Với mồi ve V gọi V V R là ánh xạ cho bởi V y v với ị V Suy ra V e V . Gọi O V V là ánh xạ cho bời O v V với ve V Ta có là song ánh và tuyến tinh. Do đó V có thể được đồng nhất với V bời o. Tập triệt tử Cho s là một tập con cùa V. Một dạng tuyến tính V trên V được gọi là một triệt tử toán từ triệt hay hàm triệt cùa s nếu y u - 0 với mọi ue s. Tập s gồm tất cả triệt từ của s được gọi là lập triệt từ của s. Ta có s là một không gian con của V . Định lý Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều và w là một không gian con của V. Ta có dim W dirn W dim V Chuyền vị của ánh xạ tuyến tính Cho T V w là một ánh xạ tuyến tính. Chuyền vị của T là ánh xạ T w V cho bởi T p P T với mọi pe w Ta có Tl là tuyến tính. Định lý Cho R u V và s T V w là những ánh xạ tuyến tính. Ta có i S T 1 - s T ii cS 1 cSl. với mọi số thực c Chương 7 .