tailieunhanh - Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 25

Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian. Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger. Trở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do: | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö NguyÔn V¨n Khiªm Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 25 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO HẠT TỰ DO Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian. Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Phương trình Dirac Trở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do: () Để đối xứng hóa bậc nhất, ta phải thay biểu thức của toán tử này bằng biểu thức có dạng: trong đó () trong đó Là những toán tử chưa biết. Tuy nhiên, dể bảo đảm () chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo các biến số không gian, ba toán tử không được phép chứa . Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam thỏa mãn hệ thức năng - xung lượng sau: () Bình phương hai vế đẳng thức () và so sánh kết quả với () ta được : Ta yêu cầu Đồng thời, để bảo đảm tính bất biến của khi dịch chuyển hệ tọa độ và dịch mốc thời gian, còn phải thừa nhận rằng không chứa chính các tọa độ x, y, z, t. trong đó là toán tử đồng nhất (hay toán tử đơn vị). Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ nếu đặt với i = 1, 2, 3 và thì: đồng thời: Như vậy, () được thay thế bởi phương trình: Phương trình () chính là phương trình Dirac. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý: muốn cho phương trình Dirac có vẻ ngoài hoàn toàn đối xứng với x, y, z và τ=ct, ta thay sau đó nhân hai vế với α4 (từ phía trái) và chú ý rằng , chuyển vế và chia hai vế cho , ta được: hay với , Phương trình Dirac. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Dạng ma trận của phương trinhg Dirac Phương trình () vẫn còn mang tính hình . | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö NguyÔn V¨n Khiªm Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 25 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO HẠT TỰ DO Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian. Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Phương trình Dirac Trở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do: () Để đối xứng hóa bậc nhất, ta phải thay biểu thức của toán tử này bằng biểu thức có dạng: trong đó () trong đó Là những toán tử chưa biết. Tuy nhiên, dể bảo đảm () chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo các biến số không gian, ba toán tử không được phép chứa . Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam thỏa mãn