tailieunhanh - Sử dụng các phép toán Malliavin để giải bài toán đầu tư trên thị trường chứng khoán

Tài liệu Sử dụng các phép toán Malliavin để giải bài toán đầu tư trên thị trường chứng khoán đưa ra khái niệm về dạng toán đầu tư; các dạng toán đầu tư và cách giải quyết những bài toán đầu tư này. Tài liệu hữu ích với các bạn chuyên ngành Tài chính ngân hàng. | KHÁI NIỆM VỂ BÀI TOÁN ĐẨU Tư Trước hết bàng công cụ của vi-tích phân ngẫu nhiên ta xét đến sự biến động giá cúa hai loại tài sần trên thị trường chứng khoán. Loại tài săn phi rủi ro chàng hạn như trái phiếu. với bién động giá Xo í cho bới phưong trình vi phân dXữ t Ả t Xữ t df Xữ t . 1 Loại tài sàn có rủi ro cháng hạn như có phiếu. với biến động giá Xt cho bởi phưong trình vi phân ngâu nhiên Itô í a í X1 ì dt p ị Xỵ ì đw X1 í 0 2 trong đó 2 í ấ ffl a í a t tữ p t p t ày a efì íeO T là những quá trình ngâu nhiên 7 - thích nghi thốa điêu kiện E 0 3 .0 Ta ký hiệu t0 í t0 í ío 7 íơeQ e ữ Tlà những đon vị vốn đâu tư cho loại tài sân phi rủi ro và có rủi ro tưong ứng. Khi đó ta gọi r z r0 í Tị í là một phương án đâu tư một danh mục đâu tư và tống giá trị tài sàn tại thời điém t khỉ đó sẽ là í F rc r1 X1 3 Phương án đâu tư được gọi là tự tài trợ nếu ta có t 0 0 0 0 0 ri 0 1 0 w Ta già định ràng T t t e o 71 là tự tài trợ khi đó từ hệ thức 3 sê thu được r M w . Từ các hệ thức trên ta suy ra dV T t Ằ t k t t -Tl t Xljdt rl t dXl 5 Đén đây ta tháy ràng phương trình 5 là một phương trình vi phân ngầu nhiên tuyển tính mà ta sé nói dén phương pháp giải nó ớ phân sau. Mặt khác trong thực tế thường xét đén việc tlm phưong án đâu tư G o r đéthu được giá trị V r F 6 trong đó F là 7 - đo được. Phương án đâu tư như vậy được gọi là phương án đáp ứng replicating portfolio . Từ đó ta thấy cân sử dụng vốn đâu tư ban đâu o là bao 54 Khoa học ứng dụng Số 17-2011 nhiêu và phương án đâu tư r z G o T7 nào cân sử dụng Mở rộng vấn đê đã nêu vào việc xét n tài sản có rủi ro với biến động giá Xị Ợ ỉ được cho bởi d z. í jrz. r yổz. í JFF j . z z jv í í í z zõ 6 trong đó là quá trình Wiener Nfdt dz N dt dz . Nn dt dz T là độ đo ngẫu nhiên Poisson bù compensated Poisson random measure . Pi Al 0 - Pm A 0 z r i z .- rto ừ z GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN ĐÂU TU Phương trình 5 ta xét dưới dạng bài toán tổng quát sau BÀI TOÁN I Giải phương trình vi phân tuyến tính ngấu nhiên íZY a r ự r 4 íử ỹ í ứ x r 5 í ứ