tailieunhanh - Cân bằng hệ số trong BĐT Cauchy

Tài liệu ôn thi tham khảo về Cân bằng hệ số trong bắt đẳng thức Cauchy. | CAN BANG HE SO TRONG BÂT ĐẨNG THỨC CÓ-SI Sử dụng bất đẳng thức BĐT đã biết mà đặc biệt là BĐT Cô-si là phương pháp thường được áp dụng để giải các bài toán về BĐT nói chung. Những bài toán cực trị nhất là trường hợp có thêm các điều kiện phụ thường gây khó khăn cho người giải trong việc ước lượng hệ số và xét điều kiện để dấu đảng thức xẩy ra. Bài viết này trình bày một phương pháp đánh giá thông qua BĐT Cô-si để từ đó chuyển bài toán cực trị về việc giải một phương trình PT hoặc hệ phương trình HPT mà việc giải quyết là dễ dàng hoặc có đường lối rõ ràng hơn đó là phương pháp cân bằng hệ số Cũng từ phương pháp này với một chút sáng tạo chúng ta có thể tổng quát và tạo ra được những bài toán mới. Trước hết xin nêu lại mà không chứng minh hai BĐT quen thuộc sau i BĐT Cô-si tổng quát a1 a2 . an n ii BĐT Cô-si suy rộng 1 a1a1 a2a2 . anan a1 a2 . an a ai a2 . an Trong hai BĐT trên thì a1 a2 . an không âm a1 a2 . andương và dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a a . a 12 n Chúng ta bắt đẩu tù bài toán sau Vi dụ 1. Cho các số thực dương x y thỏa mãn điều kiện x3 y3 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất Max của biểu thức P x y 4x y ỹ Phương pháp suy luận Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức x3 y3 và P x y Jx y ỹ gợi cho ta sử dụng BĐT Cô-si để hạ bậc của x3 y3 Nhưng ta cẩn áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào Căn cứ vào bậc của các biến phải áp dụng BĐT Cô-si lẩn lượt cho khác để làm xuất hiện số x và y trong các biểu thức trên ta thấy cẩn x3 và y3 cùng với 5 hằng số dương tương ứng x và ựy Mặt khác do x y dương và vai trò của chúng như nhau nên ta dự đoán P x y đạt Max khi x y Từ 1 suy ra x y - và ta đi đến lời giải 3 - như sau. Lời giải. Áp dụng BĐT Cô-si cho 5 _ s x x3 x3. -1 2 1 Tương tự như vậy 3 - 1 z 1 Cộng theo vê các BĐT trên ta được Dấu xẩy ra x y - 2 . y3 ý 1 y 2 y 12 5 6 V2 3 .1 6 số dương 1 số x và 5 số 2 ta có Dấu xẩy ra x - 2 Dấu xẩy ra y -3 2 5 x3 y3 5 6 1 2 5 5 y Từ 1 và 2 suy ra 1 P