tailieunhanh - Bài 14 Chuỗi lũy thừa

thừa, hệ số .ýợc gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọi số hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa. Nếu thực hiện phép .ổi biến dạng dạng | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 14 Chuỗi lũy thừa LŨY THỪA nghĩa Ta gọi chuỗi hàm có dạng 2 L an x-Xq aữ a n 0 là chuỗi lũy thừa. Các hăng sô được gọi là các hệ sô của chuỗi lũy .X . ------ X .X . x fl x-xn thừa hệ sô được gọi là hệ sô tông quát của chuỗi. Ta gọi u là sô hạng tông quát của chuỗi lũy thừa. .1 1 4Ỉ-1-X X x .1 1 - .1 . - . .1 1 1 V- Nếu thực hiện phép đôi biến thì chuỗi lũy thừa trên trở thành chuỗi có y 0. . -n . . . . . . dạng . Do đó trong các mục tiếp theo dưới đây ta chỉ chuỗi lũy thừa có dạng y a x -H. B u . JVí dụ v ị T 1 Chuỗi lũy thừa c 1 a ---- có hệ sô tông quát là . 2 Chuỗi lũy thừa Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 có hệ sô tông quát là . Băng cách đôi biên X x 2 chuỗi lũy thừa đuợc chuyển về dạng y -lý 1 j2. Bán kính hội tụ và miền hội tụ Một trong những vấn đề đuợc xem xét đôi với chuỗi lũy thừa là tìm miền hội tụ. Cho chuỗi lũy thừa CŨ y i íí fl o . Truớc hêt có thể thấy răng chuỗi hội tụ tại x 0. Định lý sau đây là một trong những kêt quả quan trọng liên quan đên vấn đề tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Định lý Abel y . . _ n . Nêu chuỗi lũy thừa 0 hội tụ tại 1-01-El mọi x e u u . -n 0 . . . . k. . thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt đôi tại CŨ y ax íí Y Nêu chuỗi lũy thừa phân kỳ tại 1 thì chuỗi cũng phân kỳ tại mọi x Ể ĨEH-J Chứng minh CO co y ữ x y ứ X n x_ 0 n - Giả sử chuỗi lũy thừa n hội tụ tại n nghĩa là chuỗi sô n hội tụ. Khi đó lim a Ãj i 0 3 - co có sô duơng M sao cho M với mọi sô tự nhiên n. Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Cho một số thực x e . Ta có CO co 4 72 Chuỗi hình học 1 hội tụ do q 1 nên chuỗi hội tụ tuyệt đối. CŨ S n l nl Tóm lại ta có chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên . Phần i của định lý đuợc chứng minh. y Bây giờ giả sử chuỗi lũy thừa phân kỳ tại nghĩa là chuỗi số CD CO V . . V vr. 2 ax. r I. I I. n ax M n 1A Ấ I IX1 pIX1 M n . . phân kỳ. Nếu có số thực x Ể mà chuỗi hội tụ thì theo phần chứng minh ở trên ta có chuỗi hội tụ mâu thuẩn . Vậy . -. HMixj . chuỗi phân kỳ tại .