tailieunhanh - 1Bài 5 Tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác

Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì bằng cách chia .a thức P(x) cho Q(x) ta viết .ýợc: P(x) = Q(x) . S(x) + R(x), với bậc R(x) | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 5 Tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Cho tích phân trong đó là một phân thức hữu tỉ tối giản theo x. Nếu bậc của P x bậc của Q x thì bằng cách chia đa thức P x cho Q x ta viết đuợc P x Q x . S x R x với bậc R x bậc Q x Do đó í ã r dx XXV . Vì S x là một đa thức theo x nên ỉ có thể tính đuợc một cách dễ dàng. Nhu vậy ta chỉ cần tìm cách tính với bậc của R x bậc của Q x . Tích phân có thể đuợc tính bằng cách phân tích phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản hơn dựa vào 2 mệnh đề sau đây. JMệnh đề 1 Mọi đa thức Q x với hệ số thực đều có thể phân tích thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc 2 không có nghiệm thực Q x ai x -í 2 ps q 2 p x q y Trong đó các tam thức x2 px q . x2 pS qũkhông có nghiệm thực P x JMệnh đề 2 Giả sử phân thức hữu tỉ có bậc của P x bậc của Q x và Q x có dạng Q x . x - a . x - .ÍJẴ2 px q 1. x2 p X q1 1 Trong đó các tam thức x2 px q . x2 pS qỢ không có nghiệm thực. Khi ấy phân thức hữu tỉ có thể phân tích thành tổng của các phân thức đơn giản hơn nhu sau Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 p x _ A A2 a X x - ỉvý x - Bị B3 Bt ỉ_ -----i_ . --- ỉ _ X - ẽ x - sý . x -ỡỹ . M x N1 M5XTN5 MịX Nị x2 px q x2 px q 2 x2 px qy . R x s R3x S3 Sj x2 p x q x2 p x q j2 x2Tp x q y Trong đó các hệ số A1 Am B1 Ũ . Bk M1 N1 Ũ . Ml Nl ũ R1 S1 Ũ . RlQSlDlà các hằng số và ta có thể tính được các hằng số này bằng phương pháp hệ số bất định phương pháp trị riêng hay phương pháp phân tích từng bước. Các phương pháp này sẽ được minh họa qua các ví dụ bên dưới . Như vậy việc tính tích phân y 2 dg Q x được đưa về việc tính 2 loại tích phân sau dx x-ay Và L-í . .2. với p - 4q 0 Tức là x2 px q không có nghiệm thực . Để tính I1 ta chỉ cần đặt u x a Để tính I2 ta có thể phân tích I2 dưới dạng c f 2x p PC Ị dĩ 2 p X2 px q n 1 2J x2 pz q n L 7 l Tích phân pK q được tính dễ dàng bằng cách đặt u x2 px q. I dx Đối với x q . Ta biến đổi x2 px q x-b 2 c2 và đặt u x