tailieunhanh - Đại số tuyến tính phần 18

Tham khảo tài liệu 'đại số tuyến tính phần 18', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 18. Không gian vectơ Euclide PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1 Các khái niệm cơ bản Tích vô hướng và không gian vectơ Euclide Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ V X V R a h a fy thỏa các điều kiện sau với mọi a a1 a2 E V 0 c V với mọi a E R i a1 a2 h a1V a2 h ii aa 0 a a 0 iii a h 0 a iv a a 0 a a 0 khi và chỉ khi a 0. Chú ý rằng do tính chất i ii . Khi cố định vectơ 0 c V tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ nhất. Do tính chất đối xứng giao hoán iii ta dễ dàng suy ra khi cố định a G V thì tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ 2 tức là a 0 01 02 G V a E R ta có i a 01 2 a 01 a A ii a a0 a a 0 Định nghĩa Không gian vectơ trên R trong đó có thêm một tích vô hướng được gọi là không gian vectơ Euclide. Chú ý Từ tính chất tuyến tính của tích vô hướng theo từng biến tính chất i ii i ii ta dễ dàng có các công thức sau 0 a a 0 0 với mọi a G V. 1 m n Giả sử a aiai fi y bjfij thì i 1 j 1 a fi 02 X bj fij ai bj ỵ a fij i 1 j 1 i 1 j 1 Các ví dụ 1. Cho V Rn Va x1 . xn fi y1 . yn E V ta định nghĩa a fi X1y1 ----- Xnyn y Xiyi i 1 Đây là một tích vô hướng trên Rn và Rn là một không gian vectơ Euclide. 2. Cho V C a b là không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên a b . Với mọi f x g x thuộc C a b ta định nghĩa f x g x Ị f x g x dx Đây là một tích vô hướng trên C a b và C a b là một không gian vectơ Euclide. Độ dài và góc 1. Định nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. Với mỗi vectơ a E E độ dài của vectơ a ký hiệu là a là số thực không âm xác định như sau llxll ự x xì 2. Các ví dụ a E Rn x x1 . xn E Rn thì x ỵ x2 xn b E C a b f x E C a b thì f x Ị f x 2dx 3. Một vài tính chất cơ bản Trong không gian vectơ Euclide E ta có aH 0 a 0 và a E R aa a . a Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Va fi E E a fi a . fiII Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a fi phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh Nếu fi 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu