tailieunhanh - Đại số tuyến tính phần 13- Không gian vec tơ

Xét xem R2 có là không gian véctơ hay không v i phép c ng và phép nhân vô hư ng sau: (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) a∗ (a1 , a2 ) = (aa1 , 0) | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 13. Bài tập về không gian véctơ PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. Xét xem R2 có là không gian véctơ hay không với phép cộng và phép nhân vô hướng sau ai 2 bi 2 ai bi a2 2 a ữi ữ2 aai 0 Giải. Bạn đọc có thể kiểm tra trực tiếp rằng 7 điều kiện đầu của không gian véctơ đều thỏa mãn riêng điều kiện thứ 8 không thỏa mãn vì với a 1 1 khi đó 1 a 1 1 1 1 0 a. Vậy R2 với các phép toán trên không là không gian véctơ vì không thỏa mãn điều kiện 8. 2. Chứng minh rằng một không gian véctơ hoặc chỉ có một véctơ hoặc có vô số véctơ. Giải. Giả sử V là không gian véctơ và V có nhiều hơn 1 véctơ ta chứng minh V chứa vô số véctơ. Thật vậy vì V có nhiều hơn một véctơ nên tồn tại véctơ a E V a 0. Khi đó V chứa các véctơ aa với a E R. Mặt khác a b E R aa ba o a b a 0 o a b 0 vì a 0 o a b Bởi vậy có vô số các véctơ dạng aa a E R do đó V chứa vô số véctơ. 3. Xét sự ĐLTT PTTT. Tìm hạng và hệ con ĐLTT tối đại của các hệ véctơ sau a ai 1 0 1 0 a2 1 2 1 1 a3 3 2 3 2 a4 1 1 2 1 b ai 1 0 0 1 a2 2 1 1 0 a3 1 1 1 1 a4 1 2 3 4 a5 0 1 2 3 . Giải. a. Lập ma trận A tương ứng và tìm hạng của ma trận A 1 A 1 1 3 1 1 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 2 1 0 1 3 1 6 2 0 2 2 1 3 1 0 2 6 2 Vậy rankA 3 ít hơn số véctơ nên hệ trên là hệ PTTT. Vì 3 dòng khác không của ma trận ứng với các véctơ N a4 a2 nên hệ con ĐLTT tối đại của a1 a2 a3 a4 là a1 a4 a2 và rank a1 a2 a3 a4 3. b. Giải tương tự câu a. bạn đọc tự giải. 4. Cho hệ véctơ a1 a2 . am ĐLTT trong không gian véctơ V. Chứng minh a. Hệ véctơ p1 a1 ị32 a1 a2 . fim a1 a2 . am cũng ĐLTT. b. Hệ véctơ Y1 11 1 . a1mam Y2 21 1 . . . 2mam . . . . . . Em m1a1 . . . ammam ĐLTT khi và chỉkhi detA 0 trong đó 11 12 . . 1m 21 22 . . 2m A . . . . . . . . . m1 m2 . . mm Giải. a. Giả sử b1fi1 b2 32 . brnftrn 0 với bị E R o b1 a 1 b2 oí1 a2 . bm ữ1 . am 0 o b1 . bm 1 b2 . bm a 2 . bmam 0 Vì a1 . am ĐLTT nên ta có b1 b2 . . . bm-1 bm 0 b2 . . . bm-1 bm 0 . . . . . . . bm-1 bm 0 k bm 0 Suy ngược từ dưới lên ta có bm bm-1 . b1 0. Vậy A