tailieunhanh - Đại số tuyến tính phần 7

Tham khảo tài liệu 'đại số tuyến tính phần 7', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản chưa chỉnh sửa PGS TS. Mỵ Vinh Quang Ngày 19 tháng 12 năm 2004 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Hệ phương trình dạng trong đó x1 x2 . xn là m phương trình n ẩn . Ma trận ơiiXi ai2X2 ainXn Ư21X1 Ơ22X2 . . a2nXn amixi am2X2 amnxn các ẩn aij bj E R là các hằng số aii ai2 . . . ain A a2i a22 . . . . . a2n . . ami am2 . . . amn bi b2 1 bm gọi là hệ phương trình tuyến tính gọi là ma trận các hệ số của hệ 1 . Ma trận aii ai2 . . . ain bi A a2i . a22 . . . . . a2n . . b2 . mỉ am2 . . amn bm gọi là ma trận các hệ số mở rộng của hệ 1 . Một hệ phương trình hoàn toàn xác định khi ta biết ma trận các hệ số mở rộng của nó. Cột bi b2 bm 1 gọi là cột tự do của hệ 1 . Chú ý rằng hệ phương trình 1 có thể cho dưới dạng ma trận như sau A X1 X2 . . . b1 b2 . . . Xn bm trong đó A là ma trận các hệ số của hệ 1 . Nhận xét Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho. Một vài hệ phương trình đặc biệt a. Hệ Cramer Hệ phương trình tuyến tính 1 gọi là hệ Cramer nếu m n tức là số phương trình bằng số ẩn và ma trận các hệ số A là không suy biến det A 0 . b. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính 1 gọi là hệ thuần nhất nếu cột tự do của hệ bằng 0 tức là b1 b2 bm 0. 2 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Cramer Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau đây Định lý 1 Cramer Cho hệ Cramer trong đó 011X1 a 12X2 a1nXn bi a21X1 a22X2 a2nXn b . . . an1X1 an2X2 ----- annXn bn a1n a2n . ann a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 2 là ma trận các hệ số. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức det Ai Xi det A 2 trong đó Ai chính là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột i của A bằng cột tự do bi b2 . . . bn Ví dụ 1 Giải hệ phương trình ax1 bx2 c cx2 ax3 b cx1 bx3 a trong đó a b c là ba số khác 0. Giải Ta có a det A 0 b0 ca 0b 2abc 0 nên hệ trên