tailieunhanh - Đại số tuyến tính phần 4

Tham khảo tài liệu 'đại số tuyến tính phần 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 Hạng Của Ma Trận Cùng với định thức ma trận đặc biệt là hạng của ma trận là các công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. Bài viết này sẽ giới thiệu định nghĩa các tính chất cơ bản của hạng ma trận và hai phương pháp cơ bản để tính hạng của ma trận. 1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Trước hết cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. Cho A là ma trận cấp m X n k là số tự nhiên 1 k min m n . Chọn ra k dòng k cột bất kỳ của A. Các phần tử thuộc giao của k dòng k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k gọi là ma trận con cấp k của ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A. Định nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận cấp m X n khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r 1 r min m n thỏa mãn các điều kiện sau 1. Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0. 2. Mọi định thức con cấp lớn hơn r nếu có của ma trận A đều bằng 0. Nói cách khác hạng của ma trận A O chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A ký hiệu là r A hoặc rank A . Qui ước hạng của ma trận không O là 0. Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận Tính chất 1 Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị tức là rank Af rank A. 1 Tính chất 2 Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rank A n det A 0 rank A n det A 0 Nếu xảy ra trường hợp đầu ta nói A là ma trận vuông không suy biến. Nếu xảy ra trường hợp thứ hai ta nói A là ma trận vuông suy biến. Tính chất 3 Nếu A B là các ma trận cùng cấp thì rank A B rank A rank B Tính chất 4 Cho A B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó 1. rank AB min rank A rank B 2. Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì rank AB rank B. 2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy .